Еліптичні інтеграли (стр. 3 из 4)

де

і - постійні, а є непарний многочлен степені (2n-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо є многочлен n – ї степені від х, то

, (10)

де

і - постійні, а (х) є деякий многочлен (n-2) – ї степені від х. Визначення цих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Р коректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)

Зауважимо, що з (9) можна було б виразити через

та інтеграли і при від’ємних значеннях (n= -1, -2, …), так що в інтегралах досить обмежитись випадком .

Переходячи до інтегралів

(скажімо, при дійсних a), подібним чином встановимо для них рекурентне співвідношення

справедливе і при від’ємних і нульовому значеннях m.

Звідси всі

виражаються через три з них:

тобто, кінцево через

, та .

Підкреслимо, що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.

Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:

( останній інтеграл виходить із

введенням, замість , нового параметра ). Ці інтеграли, як показав Ліувіль , в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їх назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр k, а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h.

Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку

( змінюється від 0 до ). При цьому перший із них безпосередньо переходить в інтеграл

. (11)

Другий перетворюється так:

тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла

. (12)

Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в

. (13)

Інтеграли (11), (12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду – в формі Лежандра.

Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при

перетворюються в нуль, і тим зафіксувати вільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від , які Лежандр позначив відповідно через F(k, φ) і E(k, φ). Тут, крім незалежної змінної , вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.

Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних

і різних k. В них не тільки аргумент ,який трактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль kрозглядається як синус деякого кута, який і вказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.

Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д.

Дякуючи цьому функції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.

Висновки

В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра: