. (5)

Очевидно, что это уравнение прямой: коэффициенты при z’ и

сопряжены, а свободный член является действительным числом. Таким образом, получили уравнение образа прямой при аффинном преобразовании (2).

§ 3. Формула обратного преобразования

В предыдущем параграфе нами была найдена формула (4) преобразования, обратного аффинному преобразованию (2). Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Для этого достаточно доказать, что его определитель не равен нулю.

Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен:

, приведём к общему знаменателю и сократим на общий множитель, получим:

, где

, следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится в следующей зависимости с определителем преобразования (2):

и он не равен нулю. Следовательно, обратное преобразование (4) также является аффинным, что и требовалось доказать.

§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований

Докажем следующую теорему:

Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой.[3]

Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, иc выражаются однозначно через координаты точек А(

), В(
), С(
) и A'(a’), B’(b’), C’(c’).

Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:

Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:

Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.

§5. Свойство площадей треугольников

Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого аффинного преобразования. [1]

Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M’, N’ и K’, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и M’N’K’. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника:

. (6)

Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства

Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:

После последовательных преобразований полученного выражения имеем:

, то есть

. Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать.

Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.

Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные

-угольники.

§6. Род аффинного преобразования

6.1. Ориентация плоских фигур

Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную.

6.2. Ориентация пар векторов

Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ₁Е₂ (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора

к вектору

(на угол, меньший 180⁰). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов

ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от

совпадает с направлением вращения от

; в противном случае пару векторов

назовём ориентированной отрицательно.

Рис. 1

Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов

, заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае – отрицателен.

Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами:

. Найдём синус угла между векторами

(p) и
(q):

. Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа

Образом вектора

(p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор

с комплексной координатой

, вектор

, являющийся образом вектора
(q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату

. Найдём теперь синус угла между векторами

. Упростив правую часть равенства, получим:

. Знак синуса угла между векторами

зависит от знаков выражений

так как второе из них присутствует в выражении

, то именно от выражения

зависит, будет ли знак синуса угла между векторами

отличаться от знак синуса угла между векторами

. То есть если значение выражения

положительно, то ориентация пары векторов

будет совпадать с ориентацией пары векторов

. В противном случае при аффинном преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную.