Смекни!
smekni.com

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах (стр. 5 из 6)

Примем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении

отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.


Рис. 3

Очевидно, что прямые MM и NN (рис. 3) являются двойными прямыми и λ2– действительное число, то точка Р делит отрезок MM в отношении

, то есть
. Число
=δ называется коэффициентом сжатия. Если а – действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.

Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию[1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:

(25)

Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда

, откуда
, то есть а – чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии
задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен
, следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия – аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.

Если а=0, получаем осевуюсимметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также второго рода (

).

2.3. Сдвиг

Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства

(26)

и посмотрим, чем является каждый модуль в (26).


Рис. 4

- это расстояние от точки М(z) до её образа M’(z’) при аффинном преобразовании.
- это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а
- это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох.

Преобразуем правую часть (26):

, (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние
, пропорциональное расстоянию
от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний
называется коэффициентом сдвига.

Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия:

, откуда найдём
. Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.

Определитель преобразования сдвига

строго больше нуля, поэтому сдвиг – аффинное преобразование первого рода.

§3. Эллиптический поворот

Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]

Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.

Его задают условия:

(28)

а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу:

, где
, откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид:
(29)

При ортогональном сжатии окружность

перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен
, тогда
.
и
называются большой и малой осями эллипса при
. Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим:
, тогда
. Преобразовав данное равенство, получим:
, откуда получаем уравнение эллипса
.

Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол

вокруг точки О:
, где
,
,
.

Y

PN1

N

M

KM1

COD X

Т

Q

Рис. 5

Пусть точки М и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:

1)

(преобразование, обратное ортогональному сжатию);

2)

(поворот вокруг точки О на угол
);

3)

(ортогональное сжатие).

Тогда

, где
. Найдём формулу преобразования f.

1. Сначала найдём формулу преобразования

:
.

2. Найдём формулу для преобразования f:

, откуда получаем
- это формула эллиптического поворота.

Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя