В работе рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем.

Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства.

Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах

1.1. Определение аффинного преобразования

Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.

Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1]

1.2. Формула аффинного преобразования

Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z’ образа данной точки M(z) через координату z этой точки М.

Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:

где

(1)

Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1) :

, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим

. Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy:

Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:

. Введя обозначения

и учитывая, что

, имеем выражение комплексной координаты z’ точки M’ через комплексную координату её образа z точки M:

. Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований определитель примет вид:

, откуда, воспользовавшись введёнными обозначениями коэффициентов аффинного преобразования, имеем:

. Таким образом, формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах имеет вид:

, где

(2)

§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании

Как известно из определения аффинного преобразования, прямая переходит на прямую. Возьмём уравнение прямой

, где

. (3)

Любая точка M(z), принадлежащая этой прямой, при аффинном преобразовании (2) перейдёт в некоторую точку M’(z’), комплексная координата которой

. Выразим из этого равенства и сопряжённого к нему

откуда получаем

, то есть

, где

. (4)

Это формула преобразования, обратного аффинному преобразованию (2).

Но вернёмся к нашим рассуждениям и подставим в (3) выражение z через z’ и

в результате чего получим следующее равенство :

. Теперь раскроем скобки и сгруппируем множители перед z’ и

, а оставшиеся слагаемые будем считать свободным членом, получим уравнение образа прямой:

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах (стр. 1 из 6)

Предисловие

Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах

1.1. Определение аффинного преобразования

1.2. Формула аффинного преобразования

§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании