Кривизна плоской кривой Эволюта и эвольвента (стр. 2 из 3)
Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда
Для вычисления
воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: 
.Чтобы выразить производную
через функцию y=f(x), заметим, что 
и, следовательно 
.Дифференцируя по x последнее равенство, получаем
.И так как
, то 
, и окончательно, так как , получаем 
.Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая задана параметрически: x=j(t), y=y(t). Тогда
Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
.Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = rcosq, y = rsinq .
Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим
x = f(q) cos q, y = f(q) sin q
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.
Тогда
, 
, 
Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:
Радиус и круг кривизныОпределение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:
Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению
.Далее, точка C(a, b) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:
Решив совместно уравнения * определим a, b:
и так как
, то 
Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y!!½= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:
(1)Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!<0.
Параметрическое задание кривой
Если кривая задана параметрически: x = j(t), y = y(t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y! и y!! их выражения через параметр:
.
Тогда
(2)Эволюта и эвольвента
Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C1(a, b) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.
По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.
Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L1 , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.
Если данная кривая определяется уравнением y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты a и b. Если же кривая задана параметрически x = j(t), y = y(t), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты.
Свойства эволюты
Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.
Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен
. В силу уравнений (1) 
, (3) 
(4)Получаем соотношение
.Но y! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.
Теорема 2. Если на некотором участке M1M2 кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.
Доказательство.
Так как
, где ds - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда 
Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим
. (4)Так как
, то 
.Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований
Деля обе части равенства на
, получим 
.Возведём в квадрат полученное равенство:
(5), и сравнивая равенства (4), (5) находим 
, откуда 