Кривизна плоской кривой Эволюта и эвольвента (стр. 1 из 3)

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

Реферат по математическому анализу выполнил: студент МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий

Москва 2004.

Введение

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).

Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.

Определение 2. Множество ГÌR3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0Î [a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r Î R3 : r = r(t), tÎ[a, b] },

Г = {(x; y; z) Î R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) ÎR3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z) Î R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) Î R2 : x = x(t), y = y(t), tÎ[a, b] }.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) ÎR2 : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.

Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M (рис.

3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга s получит приращение Ds = дл. ÈMM1. Пусть

- хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти , поступим следующим образом:

Из DMM1Q находим

= (Dx)2 +(Dy)2. Умножим и разделим левую часть наDs2:

Разделим все члены равенства на Dx2:

Найдём предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что

и , получим

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

или

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид:

.

Кривизна

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через a угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4 рис. 5

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4. Средней кривизной Кср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.

Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+Dx и обозначим через j и j+Dj углы наклона этих касательных (рис.7).

Длину дуги ÈM0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда Ds = ÈM0M1 -ÈM0M, а½Ds½ = ÈMM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге ÈMM1 равен абсолютной величине разности углов j и j+Dj, то есть равен ½Dj½.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке ÈMM1 имеем

.

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM1 стремится к нулю: