Универсальная тригонометрическая подстановка (стр. 2 из 2)

2)

рационализируется подстановкой (или , или ).

3)

рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).

Пример 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.

,

поэтому

или

.

Пример 2.

3. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Рассмотрим теперь интегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболее простых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, это удается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функции интегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.

1. Пусть дан интеграл

,

где

, ,…, , . Найдем общий знаменатель дробей ,…, . Пусть это число . Сделаем подстановку , . В этом случае все дробные степени становятся целыми и подынтегральная функция становится рациональной относительно .

2. Рассмотрим общий случай подобных интегралов:

,

где

, ,…, , .

Чтобы получить рациональную функцию, находят общий знаменатель дробей

,…, (обозначим его ) и делают замену переменной . В этом случае

.

Очевидно, если

и , то случай 2 переходит в случай 1. Кроме того, необходимо иметь в виду, что в обоих случаях основания всех степеней должны быть одинаковы: в первом случае , во втором – .

4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Рассмотри снова интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

.

Выделив полный квадрат под корнем, получим один из трех интегралов:

, , . Все они вычисляются с помощью тригонометрических подстановок.

1.

.

2.

.

3.

.

Во всех трех случаях после проведенных подстановок интегралы пришли к виду, рассмотренному в п. 2.

5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

В п. 1 была сформулирована теорема о том, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако необходимо иметь в виду, что не всегда первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции.

К таким интегралам следует отнести

, , , ,

( ).

Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Например, та из первообразных

, которая обращается в нуль при , называется функцией Гаусса и обозначается . Эта функция хорошо изучена, составлены подробные таблицы ее значений. То же самое можно сказать и о других подобных функциях.

Литература

1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М.К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. – 736 с.

2. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

3. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

4. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

5. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.

6. Шахмейстер А.Х. ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-е изд. МГУ, 2006. – 672 с.