Смекни!
smekni.com

Устойчивость по Ляпунову (стр. 6 из 9)

Ввиду непрерывности решения

как функции от
оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений
, по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).

Допустим, что

при
. Так как
--- решение уравнения , то
в промежутке
. Допустим, что
не меняет знак. Тогда

Проинтегрируем обе части по отрезку

, где
получим

Произведем замену

. Получим

Тогда

Таким образом получаем

Теперь пусть

. Учтем, что с заменой
и получаем

по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.

Рассмотрим общий случай, когда

может менять знак. Тогда


Так как

при
, то с некоторого момента величина
станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим

Проинтегрируем обе части от

до
, где
--- значение, после которого
становится положительным.

Сделаем замену

, получим

Устремим

и учтем

Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используют сейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений. Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второго метода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применил этот метод для получения сведений об ограниченности решений.

Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной

, где
--- положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство
. После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида

что позволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости и ограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе .

Если рассмотреть систему

то ее решение

может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех
.

В неравенстве нас будут интересовать только его положительные решения. Сами неравенства могут быть двух типов:

а) неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;

б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под

понимается некоторое множество, то через
обозначается дополнение этого множества в пространстве.

Приведем без доказательства несколько утверждений .

Теорема

Предположим, что

--- ограниченное множество пространство
, содержащее начало координат, и что функция
определена во всем множестве
и при всех
. Допустим далее, что
при
равномерно на каждом интервале изменения времени
. Наконец, предположим, что
, во всем
и для
. Если неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение
системы неограниченно продолжаемо.

Для применения результатов такого рода часто полагают

, то есть неравенство записывается в виде

Лемма

Если

, то неравенство , при непрерывности
для всех
и положительности и непрерывности
для
, не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения.

Лемма

Если

,
, то неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при
решения.

Теорема

Пусть

и
имеют тот же смысл, что и в теореме ,
при
равномерно по
и
. Если неравенство
не имеет ни одного положительного неограниченного при всех
решения, то система устойчива в смысле Лагранжа.