Устойчивость по Ляпунову (стр. 7 из 9)
Замечание. Для автономной системы вместо
используется функция 
.Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему вида
где
определена и непрерывна на 
, где 
--- некоторый промежуток прямой, а 
--- область 
-мерного пространства 
.Определение. Будем говорить, что вектор-функция
удовлетворяет на множестве локальному условию Липшица по 
, если для каждой точки 
найдется такая окрестность 
и постоянная Липшица 
, что для любой из двух точек 
и 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.Введем обозначения.
Рассмотрим отношение
.Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения
Этот предел будем называть производной функции в силу системы .
Пусть функция
определена, непрерывна и локально липшицева относительно на произведении 
.Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке
необходимо и достаточно, чтобы на множестве 
существовали две функции Ляпунова 
и 
, обладающие свойствами:1)
;2)
при 
равномерно относительно 
на каждом конечном сегменте, 
.Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие
.Следствие. Если
и 
непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на необходимо и достаточно, чтобы в пространстве 
существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова и , обладающие свойствами:1)
;2)
при равномерно относительно на каждом конечном сегменте, .Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка
Поскольку одна из целей данной дипломной работы --- показать на примере применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем, мы ставим перед собой задачу применить функции Ляпунова для решения вопроса продолжимости на
всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка.Рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Пусть функции
, 
и 
удовлетворяют следующим условиям:а)
непрерывна при 
,б) функция
ограничена для достаточно больших 
, то есть 
для больших ;в) функция
непрерывна и имеет непрерывную производную по и, кроме того, удовлетворяет условиям:1)
для достаточно больших и 
,2)
для достаточно больших и ;тогда все решения системы неограниченно продолжаемы.
Доказательство
Рассмотрим функцию
Ее производную в силу системы для достаточно больших
, и 
легко оценить: 
Получили дифференциальное неравенство вида
,где
, а 
. По лемме это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. В качестве множества 
, о котором говорится в теореме, можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое, что вне его выполняются условия, наложенные на функции и .Применяя теорему , приходим к требуемому выводу.
Замечание. Если вместо требований, наложенных на функцию
, потребовать 
при достаточно больших 
, 
, то, взяв 
, получим