Смекни!
smekni.com

Устойчивость по Ляпунову (стр. 9 из 9)

или система

Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле

. Обозначим
. Получаем, что

Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на

более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Теорема

Для продолжимости всех решений уравнения на

достаточно выполнения условий:

1) непрерывности при всех

функции
,

2) непрерывности функций

и
и непрерывной дифференцируемости по
функции
, а, кроме того, выполнения для них условий


вне некоторого ограниченного множества

, содержащего начало координат.

Действительно, взяв функцию

вне множества

и для достаточно больших
, будем иметь

Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы получаем справедливость нашего утверждения.


Заключение

В основном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка на полупрямую

.

В работе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:

Для рассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условия продолжимости всех решений на полупрямую

.

Приведенные примеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости нелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности применения указанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и для выявления других свойств решений дифференциальных систем.


Список использованных источников

1. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука, -- 1974., --- 331стр.

2. Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен. зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78.

3. Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.: Мир, 1964г.

4. Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г.

5. Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г.

6. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.

7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970