К решению нелинейных вариационных задач (стр. 4 из 9)

23

Найти неотрицательное решение системы неравенств (3), дающее минимальное значение линейной формы + = C-t з^ + Сг ^-а. . Выражение для + называют линейной формой потому, что в него не входят члены со степенями выше первой и произведением -с, и 3^.

Решение задачи (частный случай).

Пусть g/=6", 8>^f2, ^д=^ 0,^2 , Q^ ^, ^a ^/ ^ ^ gs.^ =^

CZ^i = / , С/ ^ Q 2 ^д. ^ ^ 3 , л? ^ д?/, js/ = •2?-2 .

Множество решений системы неравенств:

( <?^+ У >.6 2 э^ + ^у ^ ^ ^^1 + ^ ^- ^

есть открытый многоугольник А - (рис.2)

Среди всех точек этого множества нужно найти такую, координаты которой минимизируют линейную форму +=с^5х+ о, -5 У . Если зафиксировать какое-нибудь значение выражения -f= С , то получим линейное уравнение с двумя неизвестными ^S-sa-O^y^c ^ график которого есть прямая. При изменении от ~т>одо оо прямая o^v.-t-Qb'd^c , смещаясь параллельно самой себе, "зачертит" всю плоскость. При некотором значении с = С/ эта прямая достигнет многоугольника М в точке В • Очевидно, в этой точке -f примет наименьшее значение. Координаты точки В, находим решив систему: Г 2 х- i-y ^ G

i <?г ^ ^ = /'<?

Итак, наименьшее значение линейной формы -/=<^5х-к^3^ в М. достигается в точке в ^г; 2) Таким образом, для наивыгоднейшего откорма животных надо брать оба вида кормов по две единицы.

24

1.7.3. Задача об оптимальном использовании сырья

1. Постановка задачи

Пусть предприятие вырабатывает продукцию двух видов П, и Лд , для чего используется сырье трех видов S<, ^ , -?э соответственно в количествах ^ , ^z. , ^.i . Для изготовления единицы продукции (^потребуется и/, , й& , ^<s единиц сырья Sf , ^г. , •5л соответственно. Условно запишем это так: П = Он S{ + Ом. 5л ч- С?/& 5д . Аналогично допускаем , что П = Ог/ ^ ^у- ^ -^s;? ⁺ ^^ ^з . Доход, получаемый предприятием от выпуска единицы продукции Л< и Па равна соответственно Су и Сд. рублям. Требуется спланировать работу предприятия так, чтобы обеспечить наибольшую прибыль. Все данные представим в виде таблицы 3.

Таблица 3

2. Математическое описание задачи

Предположим, что нужно изготовить •3?/ единиц продукции П< и Л^ единиц продукции П^ . На это уйдет d^ Л&bsol; + Cf^ Xa. единиц сырья J/ i. = /, 2/3 . Принимая во внимание ресурсы предприятия, можно написать:

(2// Л'< + 0.^ ^ ^ ^/ о^ О'/ + 0<.i ^ ^ ^

(2/s Я?/ + йгд ^ ^ ^з

Общий доход выражается линейной формой ^= б< а?/ + Сл. 3?г. Итак, требуется найти неотрицательное решение системы неравенств, дающее максимальное значение f^ ^e^ ^ -^ С^Ха. Эта

задача решается аналогично задаче о рационе.

25

1.7.4. Понятие о задаче нелинейного программирования

Рассмотрим примеры решения простейших задач нелинейного программирования.

Пример 1. , Найти минимальное и максимальное значения функции ^⁼(^ ~^) ⁺(³^ "^ ) при ограничениях С X/-^ Хл. ^>- ^ &bsol; -?гс< +3^1 ^{2 L лу s^, эс^^О

Решение:

Область допустимых решений представляет собой многоугольник АВСЕ (рис.3). Проводя из точки М, как из центра, окружности различных радиусов, получим: минимальное значение функции г (SZ>)=196/13 принимает в точке Ю (24/13, 36/13), в которой окружность касается области решений. Точка ^) не является угловой, ее координаты находят решая систему уравнений, соответствующих прямым /Йс> и C£~ . Имеется два локальных максимума: з ( д&bsol; = (f-^)^ + (о-б)² = ^•5' ;

i(^}-- C&-^)² + (о~б)² = Ю

⁶ . ^

рис.3 Пример 2 Пусть область допустимых решений остается прежней, а й-s (,Т/-^) ^ -<- ( ^й~^)² найти минимум и максимум i . Решение:

Так как	2M> i			(е)	, то вершина А есть точка глобального мак-
симума.	\.	•	—-	— —	---^м
				-	/ 1
					/
		f-	is,		/
	н	\^ ^
		• ^	s		/
		,''		\	(
				<2>
			/' /		• ':; ' •-- г
			/		^. 1
			/	//
			/	/ /
					у
		в		/
	f	&bsol;		f /	/ / / &bsol;>•~-
			&bsol;	.А	Г4	.—^-^-
	б	Г л			ч	6 -^	'>

26

Минимальное значение функция принимает в точке A<i(4;l),

iW=0. , , -

I: г^с^ i = i( e)- zfe;o) =-^

II: ^а^ г ^ ^fe; - ^" ; глобальный /^wc г = гЛ?; ^)^/c)^2S.

ПримерЗ

Найти максимум и минимум значения функции i ~- Vf

при ограничениях: ( Xr- 3Q. ^^

&bsol; зе^^^-S , ^ ?^ ^г^)

(^ У, ^ Ч, Жг ^6'

Решение:

В этом случае (рис.4) область допустимых решений не является выпуклой и состоит из двух отдельных частей, fnin. 2= i (^(-/;^)) = i(L(^^))-=^y I. ^лх i-- i (^ r-^;6'J; -~ ^/9

II.

Точка М (7;4/7) - есть точка глобального максимума

Н

Общая задача математического программирования формулируется следующим

образом:

&bsol;f¹f &bsol; найти вектор: л С ^ / ^у

координаты которой удовлетворяет системе ограничений: д

^(^,.,^=^, ^'^/2,...,,С ^ (Х,,...,^]'=^, i^^f,...,n-

Н и доставляющий экстремум __ ^ э. функции i^ f('x^..., х^).

1 ^ ^ ⁷^

Рис.4

В настоящее время (начиная с 1950-х годов), бурно развиваются методы решения задач математического программирования с привлечением современной вычислительной техники.

27

II. О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

2.1. Понятие о краевых задачах

К краевым задачам дифференциальных уравнений сводятся большинство естественно-технических проблем, которые возникают при составлении математических моделей реальных процессов. Здесь Приводятся лишь основные понятия о краевой задаче (на примере двухточечной задачи) и об основных методах решения. Задача

Найти решение дифференциального уравнения Ц = х. в области о^ ос ^ / при граничных условиях ^fo)=o^^)= -f Решение: ^ Интегрируя уравнение У = х- получим общее решение -У = ^-^ ^ х-^С^ ^

а удовлетворяя граничным условиям, получим систему: с} = о Со + С, -о^ Q = о ('с^=о • /t I . •••» ) ,

У' i •

./:

- г" • Рис.1

(Ч(с)=0 [0-Ц&bsol;Л^ t/6

Тогда решение задачи будет; У= ^^ ^ •% ^х-

Геометрический смысл задачи приведен на рисунке 1

Обобщение:

Рассмотрим простейшую двухточечную задачу:

Найти функцию iy= Ц (^), удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка и "^ -f(v, у, у '} ц .&bsol; (2.1) и краевым условиям: у(а-)^ А , ^(ё)-= В.

Геометрически это означает,

что требуется найти интегральную кривую уравнения (2.1),