К решению нелинейных вариационных задач (стр. 5 из 9)
проходящую через две данные
точки: М (л,А)^(^ Ь)
| /\ |
(см.рис. 2). На предыдущем примере мы видели, что решение
краевой задачи на последнем
этапе свелось к решению систем
уравнений. А при этом может
| Рис.2 |
возникать три случая:
1) Существует множество решений;
'2) Существует единственное решение;
3) Нет решений.
28
Различные случаи решений и постановки краевых условий приведем в следующем пункте 2.2.
2.2. Примеры .аналитического решения краевых задач
I. Пусть дано дифференциальное уравнение у '•=• - ^у и краевые условия:
а)Г^о)-(9 Q)^(o)^o вГ^^^
\^W^l Ц^П)=0 1у^2
Найдем общее решение уравнения U "i- ^и-^ с> .Ее характеристическое уравнение будет: ^^ ^-^0 и />^ = ± 2с . Поэтому :
у^ Cf сс>5 ^ус + gl s^n. S. за. . общее решение.
| С,-о 0 - ^ |
a) r^fo)=o (C}-cc5^ o^Ci-^nSO^O \и[^}^1 " \_Cf-cv^-e/^^C,L-^S-8/^S.
"7=ri / s'.^ о - единственное решение (см.рис.3).
 |
б)С^с^о C^-co^-o^ C^-s^tS.o^o г е^о
[§Un]^o ^iCf-c^^c/l^ Gi- ^^-71-- о ^iCt-о^о
| в) |
отсюда: С{ = о, С д. - любое число, поэтому множество решений будет и = Сл • •sin <3-^ (см.рис.4) - синусоиды с амплитудой Сл, .
ru^o)=o f(V- Ccss-o^- (^-^ S-o =.о (С(-С> l^W^2. ^ i^-cps^n ^ Q-5-.A-^ = 2. ^ i^ = %nS^^
| =• оо |
| , т.е. нет решения. |
| / |
| ТГ у |
| рис.3 |
| при краевых условиях: |
II. Решить уравнение ^ - 5^ - <,У
^"/оМ, ^+00^=0.
Решая характеристическое уравнение г: 'г- -5г - 4" •= ^> , получим: ii =<', ^ = -У . Тогда общее решение будет:
у^б^-к^е^ , у^ ^-^-е^- ^в^. Удовлетворяя краевым условиям:
( !/'(с)^ ^•0-е^й.е-0^
^-f^--^ ''/^ ^-г^-О^^о
[it-7 0й 1»-7ОТ
Второе условие выполняется только при С-/ ^ о . Тогда из первого условия получим <• •0 Q c>~ Сл--{ = ^ -т- <^-= - ^
•— Ti*
Итак решение задачи будет: у = - ^ е (рис.5).
Рис.5
| при |
Ш. Решить дифференциальное уравнение: у ~У0 граничных условиях: С и Со) ^ 5
ti^)-yY^r
Общее решение будет Краевые условия дают:
fc<^e»=3
\С^ Oe'-^e^/
Решение будет ^^ f-f- He - единственное решение. Очевидно, для решения краевой задачи основной трудностью является нахождение общего решения дифференциального уравнения. Поэтому рассмотрим приближенные методы решений.
2.3. Приближенный метод решения краевых задач. Конечно-разностный алгоритм
Решение краевой задачи методом конечных разностей несколько сложнее по сравнению с задачей Коши для того же дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с краевыми условиями:
^\p(^^^-,H^^(a)^,y(S)^. (1)
Разобьем основной отрезок [ л ; о ] на /г равных частей длины
^= ^-о-. Точки разбиения имеет абсциссы:
/г' f р '
Ху^ О,, .ЗС^ЭСЬ^Л., :32п.=й? , <.^0^,..-,г^.
Введем обозначения: ^ (^)^У<-, У (^)^^^ / ^^'')=^"^ .
р(^)^р^ ^С^)-у^ т^^-.
Заменяем производные конечно-разностными соотношениями:
и'- ^^- </- ^-^- '/- У--;^-'
Уо " ~^^ ^ ^ - «^^ , •У^ - ——^——— , ,^ (^-^ -^21)/, ^ ^-2^^^
У. - V ^ 7—//^ J^
Тогда задача (1) сводится к решению системы из ^ - f линейных уравнений с /г.-/ неизвестными Чг :
(^ - ^-У^)/^ -+- Р. (^ -^)/2k ^^ - ^ ,
^--^ , ^^- (2)
Эту систему представим в виде:
-^ ^ 0-^г - •С.^ = S^ ^ Q, = (^~2k^)/ (. ,
tc -~ (^p^)/L , S. --^. h/i^ £ ^-^/).
(2')
Система (2') имеет трехдиагональную расширенную матрицу:
/-й^ -У, О О .--;... О f^-^/
| >-г. |
- ^ а^ - ^ о •... \ ... о i &
О - / Дд - ^ ...-;.. ^ О i &
\ о о о о "^ ^-< ^^ 1 ^"-<
31
| / Q О О О |
| ~t< О О Сл - Га. О О Сз -t3 |
| 0 0 | 1 ctf cL | \ |
| 0 | ^ | |
| / |
| О |
| о |
| о |
| П.-f |
(3')
где с/= а^ с, = а^ - ^-i-, А^-^л ^ = & + "^"г"
Тогда алгоритм решения системы (2) представим в виде алгоритма:
1. {,-- 2-Lp^ I, =<?-^; ft/ - ^^)/i,, О. = ^-^^/^,
i^^+kp,)/^, ^--(^^p.)/^; ^^-^4^ ^=-^^//.;
(4)
2. e/--ft<, с^о,- -1^ ^=^,
з: ^-< -. f<a<,^ -^ г:л-г ^) /с^ ;
У^ = (о1^ ^ ^^ ^+,^)/Сп-г > ^ ^ ^ з/..., о-i.
Алгоритм называется корректным, если все действия в нем выполнены, т.е. ^ ^о, U i-0 / G.f =<?, CiTt-o . Устойчивость алгоритма обуславливается выполнением условия ; Уп-ч, = •с^Н/^/-'1 ^ '^/Сп-^ , |^>-(;/Ся-<: I ^ ^ . Нетрудно видеть, если исходное уравнение (1) нелинейное, то система типа (2) также будет нелинейной, а алгоритмы типа (4) составить невозможно.
^ .- Рассмотрим примеры решения краевых задач для дифференциаль-'HbDF'BTOporo порядка с переменными коэффициентами, где как правило аналитических решений не существует.
Пример!.
Дана краевая задача: i/"^- 2^ ^ ^и--= s^ft эс. Ч'(о)=- О, ^ ('/) '= 3 . Результаты вычисления этой задачи по алгоритму (4) получим в виде таблично заданной функции.
| 5СГ | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0.7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
| {^ | 0 | 0,79 | 1,59 | 2,32 | 2,94 | 3 | |||||
| ^ | о | 0,38 | 0,76 | 1,13 | 1,49 | 1,82 | 2,13 | 2,41 | 2,65 | 2,85 | 3 |
32
III. ПОНЯТИЕ ОБ ОДНОМЕРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ
Исходя из общего закона сохранения энергии многие физические задачи при адекватном построении их математических моделей сводятся к вариационным задачам. Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и наименьших значений функционалов.
3.1. Постановка простейшей задачи
Задача состоит в определении функции и •=. •? ('>-) , которая сообщает экстремальное значение некоторой величины У= ^У^у7 , т.е. функционала, ^г.
Предположим, что ^ J р ^ у. /) ^ ^
7<
^х'^^; ^^ (1)
где г (. эе/ у, ^/ - заданная функция, и а - заданные числа.
У^
Различным кривым ц : и [ ^е.) , проходящим через граничные точки С эс<; ^ ) и (^л.', Уи.) , будут отвечать различные величины. Определим такую функцию у ^ i/ С^) , для которой ^ i- ^'('^У'^ , т.е. функционал принимает максимальное или минимальное значение. Далее будем рассматривать задачу только на минимальное значение УГ^'(>)], т.е. будем искать такую функцию у= уЛ^ , чтобы было
Н^(^).] '- ^п- ^Су(^)] ^ Л3^ Х^Х^ . Например, для задачи
п^- JYy'^ ^х, ^о)--о, ум^ (&)
/ функции i/ =- х. , ol 6r [p, будут удовлетворять условиям :
ylo)^o, ^}--L
При этом .,
г / ^
У г,. ^ - Я U^) ^ ^)^. ^ ^ ^-. fU).
33
 |
задача свелась к нахождению минимума обычной функции -fW: