К решению нелинейных вариационных задач (стр. 6 из 9)

n'J) - ^^°⁶ А__ /,

^\{^~~^^~ ~^^ ^⁰ -

(^^)(^1)^-2-(2^-Y)^0 ^

U -г) (^³^ з^ ^ з^ + /) ^о -7 о^ = ^.

Нетрудно показать, что при +{2) ^ /^-п г(⁰^/ ^ Итак, ь.^ -УГ^-^^,-^0^ ^^> ^ З";

решение задачи будет: и=- ое^' Рассмотрим семейство кривых (см.рис.8):

у f^ jc^ = y^ + с/. ^ ^ , где ^ ^ -произвольная функция, но ц (зе^)^ И (v.s.}~-C> (см .рис. 9).

'.( - i A

Тогда при малых об для кривых L/(o[^oc,) интеграл (1) будет принимать значения близкие к минимальному и зависит от параметра^:

.Vi

(з)

Если мы предположим, что функция у^ доставляет минимум J^v, то необходимое условие минимума будет: ^/,

oL-JW

^^ ^

Продифференцируем (3) по Л:

dl. ? d^d-r,- Тг ^C)F •^ ^ ^эр •^7,/

~си ~ J ^г^-J l &r й-⁺ у cSrJ^ ~-

я< yf ^q v

~- t^rt^rt'^-

Имеем:

.Г;. ^

JVt>^- i^^

Л'« JC< -ха /²^г

- Fn' • v ^ - ( ^

Поэтому:

^ - ( Г F' ^ F' 7 и/ )У

^^-J Lf^^^J^)^-

л/

-h^ri.-^^^o ®.

'VI.

/ ®

Законность перехода —-^ обуславливает следующая основная лемма вариационного исчисления:

Если Ф(^) , ^) непрерывны на JZ У<; % 7

и^Н^-^ то из

J^?^^A^--^

вытекает, что ^(ус) = <9 при ^ ^ у ^ СР^ .

В нашем случае: р^у^ч- ^и , pi,/ -- ^у , поэтому и получим с. _ ^сл . с,/ = О ^ ^ - -^г (о-^')^

и"^ л. ^у'^^х+^ , ц^ л^е^^-с^ ;

уо).о^Го^^^^ , ^-^=о ^(<)=.t Z^^ ^ ⁺ ^⁼³

отсюда у = ^ - решение. Таким образом, наше решение совпадает с решением полученном из самого определения минимума функционала. Следует подчеркнуть, что решение краевой задачи (5) не является тривиальным и разработка методов решения вариационной задачи (1) весьма актуальна.

Доказательство (от противного). _ _ Пусть ^(^^О ^ ^(^)7У>0 при Л^^ж^з^

ПОЛОЖИМ ({X.- Зй)^^- Хг) ^ "Р" Зс/^ Зе^. Д^

^ (^9С-) = ^ о при Xf ^ зе^- ДС,,, L у 5с-^ 5с ^ ^.

—t.

Тогда по свойству интегралов [ g>^L [^olx. >0

У.-1

вопреки допущению. Значит ^Р ( ^,) = О. Итак, мы пришли к следующему утверждению:

задача (1) эквивалентна краевой задаче:

^'-^ /У⁼° ' ^⁾^ ^⁾^ , . (5)

Дифференциальное уравнение /•?^/ - ^' F^' ~ ^u

носит название Эйлера-Лангранжа.

Решим пример (2), сводя к краевой задаче (5). ,ii . //// t:' - о,/^

Примеры аналитического решения вариационных задач

f!/l

1) ^ у. / Су-\у' -7^ - о. ^о)= о. ^W- i -

Составим уравнение Эйлера-Лангранжа:

~^-^'^-°- -^~У-° - ^-/ -

и^^и^О ^ Lf ^ C^-w эе^ gl ^ ^;

ffo )= О СО, • c^-s 0+ ^ -Л fi о = О Г ^ _

^№)^ " lc. ш^^(^-^%^1 ^ 1 e^i

Ответ: (у -. St-^i X.

²⁾ ^^;'^- J ^^ •^^/г^J^ ^ у^'^' ^ ^^;=⁶⁾

^ - (F^L -о ^ ^"^6^ ^^"^б^-о ->

/ • \ t -7->-^~' ^=о - t ^-о '^L^с^^^

и-.- х-^+Сгзс-t- G. ;

{^(^)^ (-f-C^C^-f \_^(о):о ^л- L а-о

Ответ: и = -х³

3) ^у- / (^у-^^ ^^ ^•^--^•

^-^')^о - ' ^^^-.^--^^.^^ f^)^ ГС^ . , ,

Г^г - [с^^ ' ^cf-^^

Ответ: Ут^¹^^,

-f

4) ^У" J (^-^^)d^,

^(^)--^ ^(^)--^

^^v^⁰ ^ ^^{^}-²^Э⁼^- ^-^-^^^^^ ;

^f-/)=^ ^' ^^-^⁼ ^ ^-ⁱ ^[^/6 ^^^^ "

^ - %

р - /-^

и ^ о

Ответ: У^ - ^Уе -* % ^л⁵) о .

^TyJ 'J (У-i'^Jc/x ; ^-i)--0,y[o)-Z .

fy - (Fy'J^O ^ y'^x^o ^ a—^/e-'-^Kft't ;

r и(-i)^o f^ _ с, +U ^о

i^^ 'с . о^ -⁷

Г^ - ^/6

Lu ' ^

Ответ: ^ -»%+ ^^^

б) dC^-- j "^А (у' ^у/А / ^= /, ^/^Д Г^/г

^- ^^ - -^^-^^

^ (^ й^-г ^-^ С( • ^/г X. ;

^[о)-- ^у ^f^- CUS^^O •^•/г6?- ^ ^)-% ^ L^- ^^-^-^

ft-^, C^~-o

Ответ 1/' - (^^" % 7) ^ У - ] if . 4у^^ , yfo)-e ⁱ, ^ /.

Уравнение Эйлера-Лангранжа:

^/,и^о^ fy^^y ^y^^e^^Qe

е^ f^e^e^^ Г^-^

38 2(f-^

Ответ: ^ ^ещ ⁸) ^у= / ^--^^ , ^о)-^(^)-0

Л/ - f^^ = о ^ ^с/ ^У^ ⁰ •^=> у= ^ ^^J ^ ^ ^^/1- ^ ⁷

С и{о)^ о . С С^- cpso 1- ^-^по-^о i ч (^ )^о ^ I ^ • с^злП^ G • si^s. /7= о

С ') Р ^L^{ ⁼^и '> ⁽- д. _ произвольное

Ответ: и ^ d ^п. х- - множество решений.

3.2. Метод Эйлера в вариационной задаче

Основоположником конечно-разностного метода в вариационном исчислении является Леонард Эйлер. Однако, в связи с громоздкими вычислениями, которые требует данный метод, до изобретения ЭВМ он не получил широкого применения. Лишь компьютерная революция в математике способствовала широкому внедрению метода Эйлера, и в настоящее время разные модификации его получили распространение в прикладной математике.

Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала ^

(1)

^£^)] - jf f^y,^)^

yf^)-^. ^/(^)-у^.

т.е. здесь надо найти такую кривую у С^) -, чтобы

^п: ^Г^;7= yCyW3 .

По методу Эйлера разобьем интервал Гль^З на П. частей точками (см.рис. II): , ^ з^-^ Л^^ ЛЬ-^^ , ^= <2,..., гъ ^ h- ~ ^

Необходимо найти ординаты у/,.. -, 4)- < соответствующие точкам х'/ i' /

--"-/, .,. , J^.n.-< •

Таким образом, искомую' функцию ^(^-} ищем в табличной форме:

ое

До

'-<?«.- -f

<--<,ц,

1 ' 1

uf^\~ ^l(^)-^) ^^^

У ¹^/ ——И——— " ~И—— '

(2)

интеграл (1) заменим суммой:

Зчт. п-f

^1^']р(^')^^Г(л^, ^^).L --

— лл t ^ J J

- Ф^-^-J

Ординаты У/, ..., j//i-/ выбирают так, чтобы функция 9? (у^ •, ^-^/ У достигла экстремума ( как функция л---/ переменных У-/,-•• ^-•r ), т.е. находятся из условия:

^9(р - о - ' ^^ - О . ^ ' •" ^; ^ ""

б)^

^0 ;

(3)

/ ^Р ( Ъ^

В целях достижения достаточной точности число /I							берут до-
вольно большим. При этом приходится решать систему типа							(3)с n-f
неизвестными, т.е. высокого порядка.
^
•i¹	\
				^	.'^^/
	Ч--	'л	г г -			^-	^I/^t•
	-X'o 3-i ЗСд, Эе,- Jc't'+i' ^ , Рис. 11						Гк Я¹.

Пример. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала ^