К решению нелинейных вариационных задач (стр. 8 из 9)

yf^ j -- 7 //ⁱ-^}^, ^> ^ ^)- ^

Будем искать решение в виде:

- у^ ^ ^- За: ^^ /^-^^ В такой форме она удовлетворяет краевым условиям:

f ^ ^= ^3-^^^/^-^'У^^ L ^ [i) -^-з-^ ^ff-^)- ^

Имеем: ^

y^J=7/^^'^-3J^ ^-^-.^'-^J ]^-

о -Откуда:

М^Й- = {(^^)^E^f^)-^3 ^ 5-fx-^E ^ -^ ^

^оГГ^ ^L ,

^ ^^~x9J }А=о - ^f^^ffo^f +^0^o-^^-^^

Решение ^/^ = 5,^/3^^- ^^/-Зд:^^ -= 4^-3 г -з,о^/3^--г^

г^	О	0,25	0,5	0,75	1
^	4	2,6798	1,7397	1,1798	1
^^-Зг.	4	3,2500	2,5000	1,7500	1

Пока о достоверности решения у /• /а^) судить очень трудно, необходимы более высокие приближения.

3) Найти решение вариационной задачи

н^у] -JY.?v^v^, yfo)^)-o.

С?

имеем:

Точное решение:

Р = J?JC.Vi- U

^-^^/' ^-^^//^

Общее решение: у "= ^ (? -i- Cx.o. Из условий ufo)-=^ , и^^у^о

е,- -1—— --^

Тогда точное решение задачи будет:

^ -X

е -е е^е^

- х ^ ^

/^7)Еfb ^^w-^л - ^^^'- ^e~^x;- ^ •

Методом Ритца в первом приближении решение ищем в виде:

<у= ех(^-ус)-. с(^м-^), у^е^-^^};

7r^j=JС c(^^^^^з)+aC^'-^^з^>^^^^-^ -.^jj<^- %c^^a^^^};

(р^с)-^^^ ^у^е^о ^ с^-^.

Итак решение по Ритцу:

^-i-^

Сравнительная таблица имеет вид:

Л.	0	0,5	1	1,5	2
у^	0	-0,275	-0,3571	-0,2758	0
^г)	о	-0,2126	-0,3520	-0,3258	0

3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач

В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариационной задаче зададим в виде:

r-^^f^-^^

При этом граничные условия и{а ) = А, ^• (б/=- /З выполняются, а ^ является искомым параметром. Решим этим методом пример из пункта 3.3.

Имеем:

Г-°\^ ^ - ^х ^^е - ^^j ]Т^)^Г^-^^^^ -j^-w

л/

Минимальное значение функционала J соответствует минимальному значению функции У/о^ . Найдем /^»г- •f(<jL) :

pi fi}-rAU\' + ( -L_}' - ^=^L - J:__ .п ^ <^-Ь^-/^' [^^М ~ ^о/-/;^ (л^)^ ~~⁰^

(^ ^^)(^)^(&^)^^\^^^^/^-^ п

Так как -^^У^^/^^и A f^V^ -^W^<9 то корень уравнения нахо-дится в промежутке [1;1Д]. Представим (*) в виде </=с/-^ ^ -f^f^^^M из условия fttd)c(^W)^ ^ ^X^/,'f получим С. =-0,01.

Поэтому сходящийся алгоритм будет:

с4 ^ = о4 - оо< (((( ^ i-^)^ ~ ^)^ - ^4 - /) ^

Берем Лу =1,05 и по формуле {**) последовательно вычислим о/< =1,04256,....., ^=1,03004, о4=1,02991, с/^= 1,02990. Поэтому примем ц/^ 1,0299 ^1,03; тогда решение будет:

^а.^е^^^

Решение по предложенному методу и методу Ритца почти совпадают:

0,2	0,4	0,6	0,8	1
0,2111	0,4166	06166	0,8111	1
0,1906	0,3902	0,5968	0,7981	1

Итак, предложенный подход к решению задач может быть применен, т.е. ему посильны и нелинейные задачи.

В частности, рассматривая нелинейную вариационную задачу на

отыскание ги-^ п- функционала

^/-

У /У^А7 - / f/^ ^y)ol^

с краевыми условиями ^/о^= с? ; у /"•/) -= У ;

будем отыскивать решение на кривой ^ -^ ^ ^ . Тогда функцио

нал примет вид:

У-J/: (J, ^-') \ я^^^/Г^-г:^ х. ^JA =

.f^^L, ^ W-^с^^.,W ( ^-^ -й^-7/д if.i.ci-')

и задача об определении его л^л. сводится к отысканию пъС ^1{oi)

га). ^=^,. ^ -^ - ^; т - ^,

-Г(^)^; f"(^)^o:

Поэтому при</= ¹¹^- //<4/примет наименьшее значение на кривой и-, r^^-wm g ^^ у , азначение ^ ^/^1^1,183.

3.7. К методу Ритца для двумерных задач

Для функционала •^- ^J '( ^v-' ^ ^^Р^)^ <^ уравнение Эйлера- Лагранжа примут вид:

JiL-iL^l-.-S-/2L ^ ^ъг-ъг ъ^\ър) осЛм / ^5где?~ ^эх '

^ ^-? ⁼ ^ •

Пусть ищется экстремум функционала

f[:iC^n-J[h^^- г<^-?^4 .средифунк-ций, обращающих в нуль на границе квадрата, ограниченного прямыми dc^^-f •> с/ = ± d • При этом мы приходим по существу к задаче Дирихле для уравнения Пуассона ^ у. у- i^y ="У С^^}^

г^;Г^г^/;/^ ^/;-/^г^-/;~/;=<9 (см.рис.12)

Эта классическая задача не решается | точно с помощью элементарных функций. Приближенное решение ищем при ^(у/^)~=^ —^<———— ———*7⁷"^.

по методу Ритца в виде i-i ^f^~^)('f~^²'} Подстановка в исходный функционал дает •

f^f[W(^ ^^Г. ^ ^.г.с(^х^}}Л^. ^j-^ ^с^-Г^)

Тогда Г1^)-^-^С- ^---0- С--^ :

ПФ^-^о, ^ у ^ ^й=-^, u—ig(^)W

решение задачи при первом приближении.

Сравнение с точной формулой (имеющий вид бесконечного ряда) показывает, что погрешность этого приближенного решения в среднем равна 1,5%, а погрешность в значении функционала около 0,2%. Таким образом, идея метода Ритца распространяется для двумерных (и, вообще, для многомерных) задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дипломная работа посвящена методам решения экстремальных задач, при этом приведены основные идеи различных методов, которые почти совсем не рассматриваются в школьном и педвузовском курсе математики. Таким образом, заполнен существенный пробел в математическом образовании и подготовлен материал для изучения основ современной прикладной математики в классах с углубленным изучением математики.

Основные выводы по дипломной работе:

1. В краткой реферативной форме изложены элементарные методы решения экстремальных задач, основанные на известных неравенствах типа Коши.

2. Приведены основные идеи методики решения задач математического программирования: три разновидности задач линейного программирования, принципиально различные примеры решения задач нелинейного программирования.

3. Изложены методы решения двухточечной краевой задачи; дан вывод сходящегося алгоритма и на его основе решены на ЭВМ ряд линейных задач с переменными коэффициентами.

4. Излагается вариационная задача с выводом уравнений Эйлера-Лагранжа и на их основе приводятся примеры аналитического решения. На основе идей метода конечных разностей получен алгоритм для линейной вариационной задачи и на его основе решены ряд вариационных азадач на ЭВМ; результаты приведены в приложениях.

5. Методом Ритца решены ряд нелинейных задач, одна двумерная задача. На основе решения модельных задач подтверждается достоверность полученных результатов.

6. Приведена новая модификация метода Ритца, для которой нелинейность вариационной задачи не вызывает особых затруднений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл., М., 1992.

2. Белман Р., Калаба Р. Квазилинеоризация и нелинейные краевые задачи. "Мир", М., 1968.

3. Блох В.И. Теория упругости. Харьков, изд-во ХГУ, 1964.

4. Буслаева И.П. Решение задач без использования производной. Математика в школе № 5 -1995.

5. Возняк Г.М., Гусев В.А. Прикладные задачи на экстремумы. М., 1985, "Просвещение".

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., "Высшая школа", 1986.

7. Демидович Б.П., Марои И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., "Наука", 1967.

8. Дородницын А.Р. Применение малого параметра к численному решению дифференциальных уравнений. В книге "Современные проблемы систематической физики и вычислительной математики". "Наука", М., ^ 1982.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне-« ниям .- "Наука", М., 1972.