Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций (стр. 4 из 6)
Для корней нечетной степени справедливо равенство
. В самом деле, 
, т.е. число – 
есть корень 
-й степени из 
. Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, 
.Замечание 1. Для любого действительного
Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа
равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.Напомним известные свойства арифметических корней
-ой степени.Для любого натурального , целого 
и любых неотрицательных целых чисел и 
справедливы равенства:
1.
.2.
.3.
.4.
5.
.Перейдём к введению степени с рациональным показателем.
Выражение
определено для всех и , 
, кроме случая 
при 
. Напомним свойства таких степеней.Для любых чисел
, 
и любых целых чисел 
и справедливы равенства:  |  |
 |  |
 |  |
Отметим так же, что если
, то 
при 
и 
при 
Определение:Степенью числа 
с рациональным показателем
, где – целое число, а – натуральное 
, называется число 
.Итак, по определению
.При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).
§2. Показательная функция.
Это функция вида
( 
, 
). Для неё 
, 
, 
, и при 
график имеет такой вид: 
При
вид графика такой: 
1. Число
называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax)¢ =axlna
4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
8. При любых действительных значениях
и 
справедливы равенства  |  |
 |  |
 | |
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Можно так же заметить, что функция
непрерывна на множестве действительных чисел.§3. Логарифмическая функция.
Определение:Логарифмом числа
по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , то бы получить число .Формулу
(где 
, и 
) называют основным логарифмическим тождеством.При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ( ) и любых положительных и выполнены равенства:
1.
2.
