Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций (стр. 5 из 6)

3.

4.

5.

для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому:

.

Перейдём к определению логарифмической функции

Пусть

– положительное число, не равное 1.

Это функция вида

-Число

называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).

-Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

-Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_ax)¢ =

-Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1

-Логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

-При любом основании a >0, a¹1, имеют место равенства

log_a1 = 0, log_aa=1.

-При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

при

график имеет такой вид:

При

график получается такой:

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений на практике.

Задание 1.

Вычислите:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

Решение:

1) Используя свойство степени, получим:

;

Ответ: 27

2)

;

Ответ: 9

2) Применяя свойства логарифмов и степени:

3)

;

Ответ: 24

4)

;

Ответ: 7

5) Известно, что

=1, а

=0, поэтому:

. Ответ: 0

Задание 2.

Упростите выражения:

1)

;

2)

;

3)

.

Решение:

Применим свойства степени:

1)

;

Ответ:

2) Откроем скобки и приведём подобные слагаемые:

, т.к.

Ответ:

3) Воспользуемся формулами перехода к новому основанию

Ответ:

Задание 3.

Найдите значение выражений:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Решение:

1) Воспользуемся свойствами логарифмов

Ответ: 2

2)

Ответ: 2

3)

Ответ: -3

4)

Ответ: 1

Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию

выражение:

1)

при ;

2)

при , , .

Решение:

1) Согласно свойствам логарифма:

Ответ:

2)

Ответ:

.

Задание 5.

Найдите

, если:

1)

;

2)

.

Решение:

1) Применяя свойства логарифмов:

Ответ: 108

2)