Рассмотрим пример решения статистической игры в экономической задаче.
Сельскохозяйственное предприятие производит капусту. Оно имеет возможность хранить произведённую капусту в течение всего сезона реализации – с осени до начала лета следующего года. Хозяйство может выбрать одну из трёх стратегических программ реализации капусты в течение сезона реализации:
A1 - реализовать всю капусту осенью, непосредственно после уборки;
A2 - заложить часть капусты на хранение и реализовать её в течение осенних и зимних месяцев;
A3 – заложить всю капусту на хранение и реализовать её в весенние месяцы.
Сумма затрат на производство, хранение и реализацию капусты для хозяйства при выборе им каждой из стратегий составляет соответственно 20, 30 и 40 тыс. денежных единиц.
На региональном рынке капусты может сложиться одна из следующих трёх ситуаций:
S1 - поступление капусты на рынок происходит равномерно в течение всего сезона реализации и рынок не испытывает сезонных колебаний цен реализации продукта;
S2 - в осенние месяцы на рынок поступает капусты немного больше, чем зимой и весной. В связи с этим наблюдаются небольшие сезонные колебания цен – в начале зимы цены немного возрастают по сравнению с осенним уровнем и держатся стабильными в течение всех последующих месяцев сезона реализации;
S3 - в осенние месяцы на рынок поступает капусты значительно больше, чем зимой и весной. Объёмы капусты, поступающей в течение сезона реализации, постоянно уменьшаются.Значения суммы выручки предприятия от реализации капусты при выборе каждой из стратегий реализации и формировании различных ситуаций на рынке представлены в таблице 10.
Таблица 10
Выручка от реализации капусты, тыс. д.е.
| Стратегии хозяйства | Выручка от реализации капусты, тыс. д.е. | ||
| S1 | S2 | S3 | |
| A1 | 30 | 25 | 22 |
| A2 | 30 | 40 | 33 |
| A3 | 30 | 40 | 60 |
В задаче необходимо определить:
1. Какая стратегия хозяйства является наиболее выгодной, если известны значения вероятностей состояний рынка капусты региона: 0,3, 0,6 и 0,1 соответственно;
2. Какая стратегия хозяйства является наиболее выгодной, если информация о вероятностях состояний рынка капусты отсутствует и предприятию необходимо:
а) получить минимально гарантированный выигрыш;
б) учесть значения риска от принятия различных решений;
в) определить наиболее выгодную стратегию, если коэффициент пессимизма равен 0,3;
3. Определить наиболее выгодную стратегию, если информация о вероятностях состояний рынка не является вполне достоверной и параметр достоверности информации равен 0,7.
Решение
1. Составим платёжную матрицу данной игры. Её коэффициентами будут значения прибыли от производства капусты, получаемые как разница суммы выручки от реализации капусты и затрат на производство, хранение и реализацию капусты (см. таблицу 11).
Таблица 11
Платёжная матрица задачи определения наиболее выгодной стратегии реализации капусты
| S1 | S2 | S3 | |
| A1 | 10 | 5 | 2 |
| A2 | 0 | 10 | 3 |
| A3 | -10 | 0 | 20 |
3. Определим наиболее выгодную стратегию по критерию максимального математического ожидания выигрыша:
W1 = 10×0,3 + 5×0,6 + 2×0,1 = 6,2
W2 = 0×0,3 + 10×0,6 + 3×0,1 = 6,3
W3 = -10×0,3 + 0×0,6 + 20×0,1 = -1
Таблица 12
Определение оптимальной стратегии в статистической игре по критерию максимального математического ожидания
| S1 | S2 | S3 | Wi | |
| Pj | 0,3 | 0,6 | 0,1 | |
| A1 | 10 | 5 | 2 | 6.2 |
| A2 | 0 | 10 | 3 | 6.3 |
| A3 | -10 | 0 | 20 | -1 |
Оптимальной по данному критерию при указанных значениях вероятностей состояния рынка капусты будет стратегия A2 (W = 6,3) (см. таблицу 12).
3. Определим наиболее выгодные стратегии предприятия по ММ-критерию, критерию недостаточного основания Лапласа (НО-критерий) и критерию пессимизма-оптимизма.
Таблица 13
Определение оптимальной стратегии в статистической игре по максиминному критерию, критерию недостаточного основания Лапласа и критерию пессимизма-оптимизма
| S1 | S2 | S3 | Wi (ММ) | Wi (НО) | Wi (ПО) | |
| A1 | 10 | 5 | 2 | 2 | 5,67 | 7,6 |
| A2 | 0 | 10 | 3 | 0 | 4,33 | 7 |
| A3 | -10 | 0 | 20 | -10 | 3,33 | 11 |
Значения Wi для ММ-критерия:
W1 = min (10, 5, 2) = 2
W2 = min (0, 10, 3) = 0
W3 = min (-10, 0 20) =-10
W = maxWi = W1
Оптимальной стратегией по максиминному критерию является стратегия A1 (W = 2). Определим оптимальную стратегию по критерию недостаточного основания Лапласа. По данному критерию оптимальной является стратегия A1 (W = 5,67).
По критерию пессимизма-оптимизма при коэффициенте пессимизма, равном 0,3 – стратегия A3 (W = 11).
4. Определим наиболее выгодную стратегию по критерию минимаксного риска. Для этого рассчитаем матрицу рисков (см. таблицу 14).
Таблица 14
Определение оптимальной стратегии в статистической игре по критерию минимаксного риска с помощью построения матрицы рисков
| S1 | S2 | S3 | Ri | |
| A1 | 0 | 5 | 18 | 18 |
| A2 | 10 | 0 | 17 | 17 |
| A3 | 20 | 10 | 20 | 20 |
Оптимальной стратегией по критерию минимаксного риска является стратегия A2 (W = 17).
6. Определим наиболее выгодную стратегию предприятия по критерию Ходжа-Лемана (см. таблицу 15).
Таблица 15
Определение оптимальной стратегии в статистической игре по критерию Ходжа-Лемана
| S1 | S2 | S3 | Wi | |
| Pj | 0,3 | 0,6 | 0,1 | |
| A1 | 10 | 5 | 2 | 4,94 |
| A2 | 0 | 10 | 3 | 4,41 |
| A3 | -10 | 0 | 20 | -3,7 |
По критерию Ходжа-Лемана оптимальной для хозяйства будет стратегия A1 (W = 4,94).
Задачи, в которых возникают ситуации, где важную роль играют конфликты и совместные действия можно решать с помощью теории игр.
Решение задачи заключается в том, как должен вести себя разумный игрок в конфликте с разумным противником, чтобы обеспечить себе в среднем наибольший возможный выигрыш.
Для правильного применения теории игр в решении задач нужно знать основные понятия теории игр, их классификацию, уметь делать правильную постановку задачи с позиции теории игр и осуществлять их решение.
1. http://www.spbgid.ruindex.phpnews=125958 актуальна на 15.11.2008.
2. Оуэн Г. Теория игр.- М.:Мир, 1971.- 230с.
3. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 272 с.
4. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. – М.: Наука, 1961. – 67 с.
5. http://pasadvice.narod.ru/stat/teorigr.htm актуальна на 29.10.2008.
6. Балдин К.В., Воробьев С.Н., Уткин В.Б. Управленческие решения. - М.: Издательство – торговая корпорация «Дашков и Кͦ», 2006. - 496 с.
7. http://www.12manage.com/methods_game_theory_ru.html актуальна на 14.11.2008.
8. http://www.ecsocman.edu.ru/db/msg/54933.html актуальна на 3.11.2008.
9. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер с франц.- М.: Мир, 1985.-200 с.
10.Воробьев Н.Н. Теория игр. – М.: Наука, 1976. – 64 с.
11.Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике. – М.: 2003. – 278 с.
12.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Айрис – пресс, 2002. - 576 с.
13.http://ru.wikipedia.org/wiki/ актуальна на 11.11.2008.
14.Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 436 с.
15.Харина О.Ю. Методическое пособие для студентов экономических специальностей г Петропавловск, 2005. - 85с.
16.Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
17.Лапшин К.А. Игровые модели и принятие решений. - М.: Москва, 2001. 45 с.
18.Таха, Хемди А. Введение в исследование операций. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.
19.Шевчук Е.В., Касимов И.Р. Методическое пособие по выполнению курсовых проектов и работ: учебно-методическое пособие. Петропавловск: СКГУ им. М. Козыбаева, 2007. – 30 с.
20.Шинтемирова А.У., Морозова О.В. Инструкции по выполнению письменных работ студентами бакалавриата. - Петропавловск: СКГУ им. М. Козыбаева, 2006. – 60 с.