Контрольные задания для заочников по математике (стр. 1 из 7)
Министерство образования Российской Федерации
государственный технический университет
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников всех специальностей
Одобрено
редакционно-издательским советом
государственного
технического университета
2004
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса “Математика”, используя учебную литературу. Список рекомендуемой литературы приведен в методических указаниях. Студент может использовать также учебники и учебные пособия, не включенные в данный список, если эти пособия содержат соответствующие разделы учебного курса.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать название учебной дисциплины, номер контрольной работы, а также полностью фамилию, имя и отчество студента, его адрес, специальность, номер студенческой группы, шифр (номер зачетной книжки) и дату отправки работы в институт.
Задачи контрольной работы выбираются в соответствии с указаниями преподавателя из таблиц вариантов. Вариант определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки. Предпоследняя цифра номера определяет таблицу вариантов, последняя цифра номера определяет столбец в выбранной таблице. Представленная для рецензирования контрольная работа должна содержать все задачи, указанные преподавателем. Решения задач следует приводить в той последовательности, которая определена в таблице вариантов. Условие каждой задачи должно быть приведено полностью перед ее решением. Контрольная работа должна быть подписана студентом.
Зачет по контрольной работе выставляется по результатам рецензирования и собеседования. Перед собеседованием студент обязан исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом.
Зачет по контрольным работам является обязательным для допуска к сдаче зачетов и экзаменов, которые предусмотрены учебным планом.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. -10. Векторы a, b, c, d заданы координатами в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис в пространстве, и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. a=(3; 2; 2),b=(2; 3; 1),c=(1; 1; 3),d=(5; 1; 11).
2. a=(1; 2; 3),b=(-2; 3; - 2),c=(3; - 4; - 5),d=(6; 20; 6).
3. a=(4; 2; 5),b=(-3; 5; 6),c=(2; - 3; - 2),d=(9; 4; 18).
4. a=(1; 2; 4),b=(1; - 1; 1),c=(2; 2; 4),d=(-1; - 4; - 2).
5. a=(2; 3; 3),b=(-1; 4; - 2),c=(-1; - 2; 4),d=(4; 11; 11).
6. a=(1; 8; 4),b=(1; 3; 1),c=(-1; - 6; - 3),d=(1; 2; 3).
7. a=(7; 4; 2),b=(-5; 0; 3),c=(0; 11; 4),d=(31; - 43; - 20).
8. a=(3; 2; 1),b=(4; - 1; 5),c=(2; - 3; 1),d=(8; - 4; 0).
9. a=(1; 3; 3),b=(-4; 1; - 5),c=(-2; 1; - 6),d=(-3; 5; - 9).
10. a=(1; 5; 3),b=(2; 1; - 1),c=(4; 2; 1),d=(31; 20; 9).
11. -20. Даны координаты точек A1, A2, A3, A4. Известно, что отрезки A1A2, A1A3, A1A4 являются смежными ребрами параллелепипеда. Требуется найти:
длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3; 3) площадь грани, содержащей вершины A1,A2,A3; 4) объем параллелепипеда; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину A1 вдоль диагонали параллелепипеда; 6) уравнение плоскости A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью, содержащей вершины A1,A2,A3; 8) расстояние от вершины A4 до плоскости A1,A2,A3. Сделать чертеж.
11. A1(0; 3; 2),A2(-1; 3; 6),A3(-2; 4; 2),A4(0; 5; 4).
12. A1(4; 2; 5),A2(0; 7; 2),A3(0; 2; 7),A4(1; 5; 0).
13. A1(-1; 2; 0),A2(-2; 2; 4),A3(-3; 3; 0),A4(-1; 4; 2).
14. A1(4; 4; 10),A2(4; 10; 2),A3(2; 8; 4),A4(9; 6; 4).
15. A1(2; 2; 3),A2(1; 2; 7),A3(0; 3; 3),A4(2; 4; 5).
16. A1(4; 6; 5),A2(6; 9; 4),A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9).
17. A1(0; - 1; 2),A2(-1; - 1; 6),A3(-2; 0; 2),A4(0; 1; 4).
18. A1(3; 5; 4),A2(8; 7; 4),A3(5; 10; 4),A4(4; 7; 8).
19. A1(3; 0; 2),A2(2; 0; 6),A3(1; 1; 2),A4(3; 2; 4).
20. A1(10; 6; 6),A2(-2; 8; 2),A3(6; 8; 9),A4(7; 10; 3).
21. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+1=0 и 2x+y-3=0. Центр параллелограмма находится в точке A(1; 2). Найти уравнения двух других сторон. Сделать чертеж.
22. Даны две вершины треугольника A(2; 1), B(4; 9) и точка пересечения высот N(3; 4). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
23. Даны две противоположные вершины квадрата A(1; 3) и C(-1; 1). Найти координаты двух его других вершин и составить уравнения сторон. Сделать чертеж.
24. Найти уравнения сторон треугольника, если заданы его вершина A(1; 3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0, y-1=0. Сделать чертеж.
25. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2; 0). Найти уравнения остальных ее сторон. Сделать чертеж.
26. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 2x-y+8=0, x-2y-12=0. Точка N(4; 0) лежит на основании треугольника. Найти уравнение основания. Сделать чертеж.
27. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; - 7), а также уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы x+2y+7=0, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.
28. Точка A(5; - 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x-7y-8=0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. Сделать чертеж.
29. Уравнение основания равнобедренного треугольника x+y-1=0, уравнение боковой стороны x-2y-2=0. Точка N(-2; 0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны. Сделать чертеж.
30. Даны уравнения медиан треугольника 5x+4y=0 и 3x-y=0 и одна из его вершин A(-5; 2). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
31. Составить уравнение и построить окружность, проходящую через точки A(1; 2), B(0; - 1) и C(-3; 0).
32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(0; 1) в два раза меньше расстояния ее до прямой y-4=0.
33. Составить уравнение и построить линию, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(-3; 0) и B(3; 0) равна 50.
34. Составить уравнение и построить линию, расстояние от каждой точки которой до точки A(-1; 1) вдвое меньше расстояния до точки B(-4; 4).
35. Составить уравнение и построить линию, сумма расстояний от каждой точки которой до точек A(-2; 0) и B(2; 0) равна 2
.36. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки F(2; 2) и оси Ox.
37. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5: 4.
38. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки A(5; 0) относятся как 2: 1.
39. Составить уравнение и построить гиперболу, проходящую через точку N(9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения y=±(2
/3) x.40. Составить уравнение и построить гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса 5x2+8y2=40.
41. -50. Кривая задана уравнением в прямоугольной системе координат. Требуется: 1) найти уравнение кривой в полярной системе координат, полюс которой совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox; 2) построить кривую по точкам со значениями полярного угла φk=kπ/16.
41. (x2+y2) 2 = 2(x2-y2); 42. (x2+y2) 2 = 4xy;
43. (x2+y2) 2/4 = x2-y2; `44. (x2+y2) 2 = 8xy;
45. (x2+y2) 2 = 6(x2-y2); 46. (x2+y2) 2 = 2(y2-x2);
47. (x2+y2) 2 = - 4xy; 48. (x2+y2) 2 = 4(y2-x2);
49. (x2+y2) 2 = - 8xy; 50. (x2+y2) 2 = 12xy.
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
51. -60. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
51.52.
ì3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, ìx1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,
í2x1 - x2+3x3 = 4, í3x1 - x2 - x3+ x4+ =1,
î5x2+6x3+ x4+ =11. îx1+3x2+5x3 =9.
53.54.
ì3x1 - x2+ x3+6x4+ x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,
íx1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í - 2x2+4x3+ x4+ x5=3,
îx1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. îx1-3x2+5x3 =2.
55.56.
ì - x1+ x2+ x3+2x4+ x5=4, ì-2x1 - x2+2x3 =2,
í2x1 + x3 - 3x4+5x5=3, íx1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,
î3x1 - x3+6x4+ x5=6. î3x1+ x2 - x3 =5.
57.58.
ì2x1+ x3 - x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,
í4x1+ x2+ 3x3+ x4+2x5=7, í - x1 - x3+ 7x4+8x5=14,
î - x1+ x3+2x4+ x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.
59.60.
ì-2x1+ 3x3+ x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,
í 3x1+ x2+ x3+6x4+2x5=9, í x1 - x3+2x4+3x5=4,
î - x1+ 2x3 - x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.
61. -70. Для данной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
61. é3 2 1ù 62. é 1 - 5 3ù 63. é4 - 3 2ù
A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= ê2 5 - 3 ê
ë2 1 1û. ë-3 3 - 7û. ë5 6 - 2û.
64. é-2 5 - 6ù 65. é2 - 1 - 1ù 66. é3 - 9 8ù
A= ê 1 7 - 5 ê A= ê3 4 - 2 ê A= ê2 - 5 5 ê
ë 4 2 - 1û. ë3 - 2 4û. ë2 - 1 1û.
67. é1 1 - 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 - 5 0ù
A= ê8 3 - 6 ê A= ê4 - 1 5 ê A= ê4 0 11ê
ë4 1 - 3û. ë1 - 2 4û. ë2 3 4û.
70. é1 7 - 2ù
A= ê3 5 1 ê
ë-2 5 - 5û.
71. -80. Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.
71. é-1 3 ù72. é4 - 1ù73. é-6 5ù74. é-4 - 3 ù
ë2 0 û. ë-2 3û. ë2 - 3û. ë-2 1 û
75. é-3 2 ù76. é1 - 2ù77. é 4 - 1ù78. é-1 3ù
ë 5 - 6û. ë-3 - 4û. ë-2 5û. ë2 - 2û.
79. é 1 - 2 ù80. é1 2ù
ë-3 6 û. ë3 2û.
81. -90. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.
_ _ _
81. z=8/(1+iÖ3).82. z=-Ö8/(1+i).83. z=Ö8/(1-i).
_ _ _
84. z=2/(1-iÖ3).85. z=-2/(-i+Ö3).86. z=1/(Ö3+i).
_ _ _
87. z= - 4/(1-iÖ3).88. z=-Ö8/(-i+1).89. z=Ö8/(1+i).
_
90. z=1/(Ö3-i).
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
91. -100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.
91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).
92. f(x) = 3cos(2x – 5).
________________
93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).
94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.
95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).
96. f(x) = - 2sin(3x + 4).
97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.
98. f(x) =ln((x+1) - 2 / e2).
99. f(x) =
f(x) = (3x2 – 5x + 2) /(2x2 + x – 3).
101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
_________ _
101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 - 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);
x®µx®1
в) lim (1 + x + x2) 1/x; г) lim(5x - 3x) /(7x – 4x).
x ® 0 x ® 0
102. а) lim (x2+2x–3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));
x® - 3 x ®µ
в) lim (1 – 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x – 2 ln(cos2x).
x® 0 x® 0
______ _______ _____
103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));
x ®µ
б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2
); в) lim 
;