Великая теорема Ферма два коротких доказательства (стр. 2 из 2)

(1)

где

, - действительные положительные множители числа .

Из (1) следует:

, (2)

В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел

, и целого существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:

, (3)

где

, .

Из (3) следует

, , или после сокращения на числа , получим:

(4)

Из (1), (2) и (3) следует:

, (5)

или, с учетом равенств (3) и (4):

(6)

Вынесем за скобки общий множитель

:

(7)

Из (5) и (7) следует, что числа

, и содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

Из (8) следует, что при нечетном

числа и также целые, причем всегда имеет место тождество:

(9)

что для одновременно целых

, и выполнимо только при , или , , что и требовалось доказать.

Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства

, где , и - произвольно выбранные натуральные числа, - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).

Вынесем за скобки множитель

и поделим на него все слагаемые тождества (5):

(10)

где

.

В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам

, и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:

(11)

тогда

, или

(12)

где

, и - целые числа.

Из (10), (11) и (12) следует:

(13)

то есть числа

и могут быть одновременно целыми только при , или , . При числа и есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых и нечетных .

Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель

, при этом число в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8).

Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений

. Подставляя вместо любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа.

Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.

Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.

А.В.Бобров

Великая теорема Ферма

Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.

Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.

Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15

The evidence of the Fermat theorem

Alexander V. Bobrov

The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented