Лекции по математической статистике (стр. 2 из 5)

Полигон распределения – это та же гистограмма, но линии соединяют середины столбцов каждого разрядного интервала. Так как на разрядах справа и слева от разрядов распределения частот, частота имеет нулевое значение, поэтому полигон распределения продолжают до горизонтальной оси в середине интервала ниже меньшей оценки и выше высшей оценки.

Огива производится по точкам максимально приближенно без углов или острых фигур, ее называют кривой процентелей. Точки, определяющие кривую процентелей расположены по горизонтали у верхней границы каждого раздела. Огива проходит путь от 0 до 100%. При рисовании огивы надо следить за тем (особенно при малом числе объектов), чтобы, когда мы сглаживаем кривую, над ней оставались бы столько же точек, сколько и под ней. При отсутствии любых графических средств можно создать гистограмму на пишущей машинке в виде полосчатой диаграммы.

Гистограмма наиболее легка для восприятия и используется в тех случаях когда всего одно распределение. Если надо сравнить два и более распределений, используют полигон, чтобы избежать запутанной картины.

Огива дает возможность оценить квантили, медианы и другие характеристики точки. Удобно сравнивать несколько групп данных на одном графике.

Ошибки при использовании графиков

1) при создании графика не определяли положение нулевой точки;

2) представили значения в виде площадей в том случае, когда их надо было отражать линейно;

3) при использовании небольшого количества объектов сделали вывод относительно всей совокупности.

Правила графического оформления

1) Вся структура графика предполагает его чтение слева на право, вертикальные шкалы – снизу вверх;

2) На вертикальной шкале разместить нулевую отметку;

3) Если нулевая линия вертикальной шкалы не перпендикулярна по отношению к графику, то нулевая линия должна быть показана с помощью горизонтальной оси.

4) Пороговые точки на шкалах желательно выделить размером или цветом, но если речь идет о временном интервале, предпочтительно не указывать начальной и конечной точек. Подобрать такой масштаб, чтобы кривые линии резко отличались от прямых, желательно включить в график цифровые данные и изображение формулы, расположив их в правом верхнем углу, при необходимости использовать ясные полные заголовки и подзаголовки, как для самой диаграммы, так и для ее осей.

Меры центральной тенденции – первый момент, характеризующие данные

При исследовании массивов данных мы чаще всего оперируем величинами, характеризующими этот массив, именно по ним делаем вывод обо всей совокупности данных. К таким характеристикам относятся меры центральной тенденции, то есть значение наиболее часто встречающееся в данной совокупности. Этих мер существует несколько:

1) мода – это такое значение во множестве наблюдений которое встречается наиболее часто. Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. (Например: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9).

Соглашения по поводу моры

· Если все значения в группе встречаются одинокого часто, считают, что у данной группы, моды нет.

· Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и эти частоты больше любых других частот в группе, то модой считают среднее от этих двух значений.

· Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этой группы есть две моды, такая группа называется бимодальной. Бимодальной называется группа и в том случае, если эти две черты не совсем равны. В таких случаях договорились различать большую и малую моду и во всей группе, наряду с одной большой модой может быть несколько меньших мод.

2) медиана – это 50-тый процентиль в группе данных.

3) среднее (среднеарифметическое или выборочное среднее) – это сумма всех значений, разделенная на их количество.

.

Мода наиболее просто вычисляется и при большом количестве измерений достаточно стабильна и близка к медиане и среднему. Медиана вычисляется по сложнее, особенно легко при ранжированных данных. В больших массивах предлагается сначала сгруппировать их, а потом вычислять медиану. Для определения моды и медианы не требуется знание всех остальных значений.

На определение среднего влияют значения всех изменений.

При наличии интервалов в значении, формула для среднего принимает вид:

Свойства среднего

1. Сумма всех n-отклонений от значения среднего должно быть равно нулю, то есть:

2. Если константу прибавить к каждому значению, то среднее увеличивается на ту же константу.

3. Если каждое значение умножить на константу, то среднее то же будет умножено на эту константу.

4. Сумма квадратов отклонений значений от их среднего меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки, то есть:

Средняя медиана и мода для объединенных групп

- среднее для каждого класса, - количество учащихся

Среднее общее группы:

Для определения моды и медианы объединенной группы необходимы конкретные значения измерений.

Мода – это такое число в группе, с которым совпадает наибольшее количество значений в группе.

Медиана – это такая точка на числовой оси, для которой сумма абсолютных значений разности всех значений меньше суммы разностей для любой другой точки. Если именно так определять понятие ошибки, то медиана дает минимальную ошибку. Если же ошибка определяется как сумма квадратов разностей, то минимальную ошибку дает среднее.

Выбор меры центральной тенденции

· В малых группах мода очень нестабильна;

· На медиану не влияет величины очень больших и очень малых значений;

· На величину среднего влияет каждое значение;

· Некоторые множества данных не имеют меры центральной тенденции. Такая ситуация близка к бимодальной гистограмме или U-образной;

· Центральная тенденция групп, содержащая крайние значения наилучшим образом представляется в том случае, если гистограмма унимодальна;

· Если гистограмма симметрична и унимодальна, то средняя мода и медиана совпадают.

Другие меры центральной тенденции

Среднее геометрическое:

; Среднегармоническое:

Меры изменчивости – второй момент характеризующий данные

Для оценки меры неоднородности (разброса, изменчивости), в группе вводят специальные меры, с помощью которых после их исследования можно уменьшить изменчивость данных. Первая из мер изменчивости называется размахом.

Размах – это разность максимального и минимального значений в группе.

Включающий размах – это разность между естественной верхней границей интервала, включая наибольшее значение, и естественной нижней границей, включая наименьшее значение интервала.

. Включающий размах отличается от исключающего на единицу.

Размах от 90-го до 10-го процентеля: D = P₉₀ – P₁₀. Эта мера более стабильна, чем предыдущая, так как на нее влияет множество значений.

Полу-междуквантильный размах:

, Q используется в распределениях, которые симметричны относительно медианы и среднего, для корректировки границ.

Дисперсия. Каждая из предыдущих мер возрастает с ростом рассеяния и уменьшается однородностей. Дисперсию, в отличие от предыдущих мер, используют при вычислении каждого из полученных измерений. Вычисляются значения отклонений

и чтобы при суммировании не потерять величины этих отклонений, разница возводится в квадрат, поскольку мы оцениваем отклонение каждого измерения, делим на количество измерений. Обозначается дисперсия как .

Для вычисления дисперсии не нужно вычислять среднее.

Дисперсия при сгруппированных данных вычисляется по такой же формуле, но

i изменяется от 1 до k, где k– количество разных значений

.

Стандартное отклонение:

Для унимодальных симметричных распределений почти 70% значений лежит в интервале

.

Свойства дисперсии:

1. Влияние на дисперсию увеличения каждого значения на какую либо константу: