Пошукова робота на тему:
Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
План
4.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР з невідомими запишемо так:
(4.1)
Скорочено її можна записати
(4.1/)
Коефіцієнти при невідомих запишемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи. Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, утворюють стовпець , який називається стовпцем вільних членів. Якщо тепер через позначити стовпець із невідомих, то систему (4.1) можна записати в матричному вигляді
(4.1//)
Система (4.1) називається однорідною, якщо в правій частині всі вільні члени дорівнюють нулю ( нульова матриця).
Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.
Означення. Сукупність чисел називається розв’язком системи (4.1), якщо кожне рівняння системи перетворюється в числову рівність після підстановки чисел замість відповідних невідомих для всіх
Система (4.1) може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок або взагалі не мати розв’язків.
Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають розв’язки – сумісними.
4.2.1. Правило Крамера
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими
(4.2)
В цьому випадку матриця системи квадратна.
Позначимо через визначник матриці (із коефіцієнтів при невідомих)
, (4.3)
а через визначник, який одержується із визначника шляхом заміни го стовпця стовпцем вільних членів
(4.4)
Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими (4.2) відмінний від нуля, то система має розв’язок і при тому єдиний, який знаходиться за
формулами
(4.5)
Д о в е д е н н я. Доведемо спочатку, що які обчислюються за формулами (4.5), є розв’язками системи (4.2). Підставивши в довільне е рівняння системи (4.2), одержимо
Тобто, ми показали що довільне рівняння системи (4.2) перетворюється в числову рівність при роз’язках (4.7).
Ми тут використали властивості сум, а також властивість визначників п.1.2.
Доведемо тепер єдиність розв’язку. Доведемо це від протилежного. Нехай існує ще один розв’язок Тоді будемо мати
Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо
Якщо розв’язки не співпадають, то хоча б одна із різниць відмінна від нуля. Це означало б, що стовпці матриці лінійно залежні, а тоді визначник матриці буде дорівнювати нулю, що протирічить умові теореми. Значить, наше припущення не вірне. Отже, Теорема доведена.
4.2.2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці
Систему (4.2) запишемо у матричному вигляді (4.1//)
де
Домноживши дану рівність зліва на обернену матрицю одержимо
Отже, розв’язок системи (4.4) в матричній формі запишеться так:
(4.6)
Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення:
а) Обчислимо визначник системи
обчислимо також
Тоді за формулами Крамера (4.7) одержимо
б) Запишемо систему в матричній формі де
тоді
Знайдемо обернену матрицю :
,
і
4.2.3. Метод Жордана-Гаусса
У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі, розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.
Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (4.1).
Метод Жордана-Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень:
1) множення рівняння на деяке число ;
2) заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням
тієї ж системи, помножимо на деяке число;
3) видалення з системи рівнянь тотожностей .
З допомогою перетворення 2) можна виключити деяке невідоме із усіх рівнянь системи, крім одного.
Виберемо для цього рівняння з номером 1), що містить невідоме :
.
Це рівняння будемо називати ведучим, а - ведучим невідомим. Для виключення ведучого невідомого з рівняння з номером
додамо до нього ведуче рівняння, помножене на деяке число . Тоді одержимо
. (4.7)
Щоб виключити невідоме , прирівняємо до нуля коефіцієнт при , тобто Звідси .
Тоді рівняння (4.7) матиме вигляд
де
(4.8)
Виконавши всі ці операції при Виконавши всі ці операції при
,
одержимо систему рівнянь, в якій невідоме міститиметься тільки в -му рівнянні, а в інших рівняннях невідомого не буде.
Таким самим способом, приймаючи в ролі ведучого інше рівняння, можна з усієї решти рівнянь виключити ведуче вибране невідоме. Продовжуючи цей процес доти, поки кожне рівняння побуде ведучим тільки один раз, прийдемо до системи рівнянь вигляду
(4.9)
У ролі ведучого послідовно бралися рівняння 1-ше та -те, а в ролі ведучого невідомого бралися послідовно . Якщо при цьому жодне рівняння не перетворювалося в тотожність , то зрозуміло, вони далі в процесі перетворення не беруть участі і тому виключаються з системи.
У цьому випадку в системі (4.9) кількість рівнянь буде меншою, ніж .
Якщо описаний процес проводився в іншому порядку, то після його закінчення члени в рівняннях завжди можна переставити так, щоб система набрала вигляду (4.9).
У випадку, коли в процесі розв’язування системи рівнянь де-небудь ліва частина якогось рівняння перетворюється в нуль, а права-не дорівнює нулю, то це означає, що система несумісна і тому обчислення треба припинити.
У рівнянні (4.9) невідомі називаються базисними, а решта змінних - небазисними. Базисний розв’язок складається з базисних змінних і нулів, причому нулям відповідають небазисні змінні. Якщо в базисі є стільки змінних, скільки рівнянь, то такий базис називається невиродженим. Якщо базисних змінних менше, ніж , то такий базис називається виродженим.
Приклад. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему рівнянь:
Р о з в ’ я з о к. Через те, що 1-, 4-, і 5-й стовпчики мають відповідно спільні множники 2, 3 і 5, то щоб мати справу з меншими коефіцієнтами, вигідно ввести нові змінні за формулами . І крім того, перейменувати невідомі в і , щоб уніфікувати найменування невідомих. Тоді одержимо
Щоб при дальших перетвореннях не переписувати на кожному кроці невідомі , запишемо систему у вигляді таблиці, цілком зрозумілої:
Приймемо в ролі ведучого перший рядок і в ньому ведучим-перший елемент; за допомогою його перетворимо в нулі в першому стовпчику всі елементи, крім першого.
Перший рядок помножимо по черзі на , , , і результати додамо відповідно до другого , третього, четвертого і п’ятого рядків. В результаті одержимо:
.
У другому рядку всі елементи від’ємні, тому можна весь рядок помножити на –1. Це не вплине на результат, бо така операція рівносильна множенню другого рівняння на –1. Аналогічні дії виконані з третім рядком.
Остання таблиця одержана множенням другого рядка на (3), 5-го – на (–3), четвертого – на ( –1).
З останньої таблиці маємо Врахувавши підстановки, знаходимо Пояснення до останньої таблиці: в ній рівняння мають вигляд
З цих рівнянь знайдено
Відповідь:
4.2.4. Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР
При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом задачі повинні бути невід’ємними.
При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом задачі повинні бути невід’ємними.