Метод вспомогательных секущих сфер (стр. 2 из 3)
На рис. 6 проведены три эксцентрические сферы из центров О1, О2 и О3, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 - 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i1(i21), и из его центра С1 (C21) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке O1 (O21) пересечения перпендикуляра с осью i2(i22) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке O1 (O21) такого радиуса R, чтобы ей принадлежала окружность 3 - 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 - 2, определит в пересечении окружностей 1 - 2 и 3 - 4 искомые точки М и N Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М1 и N1точек М и N построены при помощи параллелей f1 и f2 поверхности тора. Точки видимости Р и Q конической поверхности для плоскости П1 построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i2 конуса.
Рассмотренные примеры показывают, что способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрия; каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
Рассмотрим еще несколько примеров.
При пересечении двух соосных поверхностей друг с другом по окружности, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, эти окружности проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Это положение остается в силе и в том случае, когда одна из соосных поверхностей - сфера, центр которой находится на оси другой поверхности вращения.
Применим это свойство к построению проекций линии пересечения двух поверхностей вращения. На рис. 7 изображены два пересекающихся цилиндра. Точки A(a') и B(b'), принадлежащие линии пересечения, находятся без дополнительных построений - в пересечении очерковых образующих.Для того, чтобы найти другие точки начертим вспомогательную сферу, центр которой будет совпадать с точкой пересечения осей вращения цилиндров - точкой 0 (о'). Проведем из точки о' окружность произвольного радиуса R, которая будет проекцией сферы. Сфера и цилиндр — поверхности соосные, поэтому они пересекаются по окружности.
По окружности, которая спроецировалась в прямую линию k'k1', сфера пересекается с вертикальным цилиндром, а по линиям m'm1' и n'n1' сфера пересекается с горизонтальным цилиндром.
Найденные линии пересекаются между собой в точках с' и d'. Эти точки будут принадлежать линии пересечения цилиндров, так как относятся одновременно к обеим поверхностям.
Радиус самой большой из них (Rmax) не должен быть более величины о'а', т. е. расстояния от точки пересечения осей вращения тел (цилиндров) до самой удаленной точки, принадлежащей линии пересечения. Радиус самой малой сферы (Rmin) определяется так. Из центра о' проводят перпендикуляры к образующим каждого из пересекающихся тел, наибольший из этих перпендикуляров и будет искомым радиусом. На рис. 7 такими перпендикулярами являются отрезок о'1' к горизонтальному цилиндру, отрезок о'2' к вертикальному. Из этих перпендикуляров берем наибольший - о'1'. Описываем сферу радиусом R, равным о'1', и находим проекции окружностей, по которым она пересечет оба цилиндра. В месте пересечения проекций этих окружностей определяем точку е', которая принадлежит линии пересечения.
Следовательно, при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения способом вспомогательных сфер надо радиусы их выбирать такими, чтобы они были не больше радиуса наибольшей и не меньше радиуса наименьшей сфер, т. е. Rmin£R< Rmax .
Описанный способ носит название способа концентрических сфер. Все вспомогательные сферы в этом случае проводились из одной точки О, которая является точкой пересечения осей поверхностей вращения.
В том случае, когда одна из пересекающихся поверхностей - сфера, для построения на чертеже линии их пересечения можно использовать способ эксцентрических сфер, т. е. сфер, имеющих различные центры.На рис. 8 дан пример построения проекций линии пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы.
В данном случае в качестве центра вспомогательных сфер, пересекающих данную сферу по окружности, можно принять любую точку пространства, за исключением центра заданной сферы. Центры сфер, пересекающих по окружности данную поверхность вращения, будут лежать на оси вращения этой поверхности. Следовательно, за центр вспомогательных сфер можно принять любую точку, лежащую на оси вращения заданной поверхности.
На рис. 8 проведены две сферы из центров о1' и о2'. Каждая из них пересекается с заданными в условии задачи поверхностями по окружности, точки пересечения которых и будут искомыми.Применение вспомогательных сфер, проведенных из различных центров, возможно и в ряде других случаев. Рассмотрим это на следующем примере.
Пример 3. Построить проекции линии пересечения поверхности тора (кругового кольца) с конической поверхностью (рис. 9). Этот случай встречается при построении чертежей крышек подшипников и других деталей.
Проведем через ось вращения тора фронтально - проецирующую плоскость (q'). Она пересечет тор по окружности, диаметр которой будет а'b'. Окружность считают находящейся на сфере, центр которой о' расположен на оси вращения конуса. Этот центр находят путем проведения прямой k'о', касательной к направляющей окружности тора в точке k'. Сфера, проведенная из точки о', пересекает конус по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекции в отрезок прямой с'd'. Пересечение линий а'b' и с'd' и дает две точки (переднюю - видимую 1' и заднюю - невидимую 2'), принадлежащие линии пересечения конуса с тором. Аналогично найдены точки 3' и 4', 5' и 6'. Точки 7' и 8' определены как точки пересечения очерковых образующих поверхностей.
Способ эксцентрических сфер иногда называют способом скользящих сфер. Он применим и в тех случаях, когда одна из поверхностей второго порядка не является поверхностью вращения, но имеет круговые сечения.
Если в задаче необходимо построить и горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей по фронтальной (или наоборот), то необходимо воспользоваться окружностями одной из заданных поверхностей, на которых лежат найденные фронтальные проекции точек. При этом следует выбирать те окружности, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения.Пример 4. Построить проекции линии пересечения поверхности вращения и конуса вращения (рис.10). Заданные поверхности являются поверхностями вращения с пересекающимися осями и с общей плоскостью симметрии, параллельной фронтальной плоскости проекций.
Поэтому в решении задачи можно применить способ концентрических сфер, центр которых будет лежать в точке пересечения осей поверхностей. Сферы, проведенные из центра 0 (о, о'), будут пересекать каждую из поверхностей по окружности. На плоскость проекций V эти окружности будут проецироваться в прямолинейные отрезки. Фронтальная проекция линии пересечения может быть построена без использования других проекций поверхностей.
Однако в задаче требуется построить и горизонтальную проекцию линии пересечения.
Сначала необходимо построить фронтальные проекции точек, принадлежащих линии пересечения. Две из них — 1' и 2' точек I и II могут быть отмечены на чертеже без дополнительных построений, остальные 3', 4', 5' и 6' найдены с помощью сфер. На чертеже проведены фронтальные проекции сфер радиусами R1 и R2из центра' о'. Проекции точек V и VI получены на сфере, вписанной в поверхность вращения. Затем находят горизонтальные проекции точек. Две из них - 1 и 2 найдены на линиях связи по фронтальным 1' и 2'. Для построения горизонтальных проекций 3, 4, 5 и 6 точек III, IV, V и VI использованы горизонтальные проекции окружностей, по которым вспомогательные сферы пересекают поверхность вращения и на которых лежат эти точки.
Изучив закономерность получающихся проекций линии пересечения заданных кривых поверхностей, как и проекций других линий в ранее рассмотренных примерах, можно установить, что линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка.