Многомерная геометрия 2 (стр. 2 из 9)
(x, y) = 
(x, a1) + …+ 
(x, ak) = 0.
Определение 3. Подпространства 
, 
называются ортогональными, если (x, у) = 0 для любого x 
и любого у .
Определение 4. Подпространство называется ортогональным дополнением подпространства в пространстве L, если и ортогональны и их прямая сумма совпадает сL.
Замечание. Подчеркнем, что ортогональность векторов и ортогональность подпространств существенно зависит от того, какая именно билинейная форма g(x, y) взята в качестве скалярного произведения (x, y) в пространствеL.
1.2. Норма вектора
1. Пусть в линейном пространстве L задано скалярное произведение
Определение. Нормой вектора x называется число
= + 
(1)Норма является обобщением понятия модуля или длины вектора, известного из элементарной геометрии.
Скалярное произведение (x, x) является действительным числом, но оно может не быть положительным, так что норма вектора может оказаться мнимой. Условимся считать, что радикал в формуле (1) может быть либо неотрицательным действительным числом, либо мнимым числом с положительным множителем при l (l = + 
).
2. Из определения нормы следует, что
= 
.для любого x L и любого числа a.
В частности,
= , 
= 0. (2)Нулевые векторы, норма которых равна нулю, называются изотропными. Изотропные векторы существуют тогда и только тогда, когда квадратичная форма (x, x) не является знакоопределенной.
3. Квадратичная форма
= (x, x)называется метрической формой рассматриваемого пространства.Она определяется в билинейной форме (x, y) и в свою очередь определяет ее как свою полярную форму. Таким образом, задание скалярного произведения и задание квадратичной формы для измерения норм векторов равносильны. Поэтому пространства с заданным скалярным произведением называют также пространствами с квадратичной метрикой.
Если пространство n – мерно, то метрическая форма в координатах имеет вид
= (x, x) = 
ikxixk. 
4. Теорема. Если метрическая форма является положительно отдельной, то для любых двух векторов x, y L соблюдается неравенство
+ 
. (3)
Доказательство. Используем неравенство Коши – Буняковского
(x, x)2 (x, x) ∙(y, y). (4)
Учитывая (4), находим, что
отсюда следует (3).
Замечание. Из (3) следует, что если метрическая форма положительно определена, то
.5. Рассмотрим аффинное пространство F, к которому соответствует линейное пространствоLс квадратичной метрикой.
Для каждой пары точек A, B изF определим расстояние
(A, B), пологая его равным норме вектора 
(A, B) = 
(5)Имеем
(A, B) = (B, A), (A, A)= 0. (6)Формула (6) следует из (2) и (5).
6. В случае положительно определенной метрической формы (x, x) расстояние между точками равно нулю только тогда, когда точки совпадают, и, кроме того, для любых трех точек A, B, Cиз Fсоблюдается неравенствотреугольника
(A, C) ( A, B), (B, C). (7)Неравенство (7) следует из неравенства (3) и формулы (5).
7. Если между точками аффинного пространства F определено расстояние по формуле (5), то говорят, что в аффинном пространстве Fзадана квадратичная метрика. В аффинных координатах квадрат расстояния имеет выражение
2 (A, B) = i k (x i2 – x i1)(x k2 – x k1), (8)где xi1,…xn1 – аффинные координаты точки A, xi2,…,xn2 – аффинные координаты точки B.
Правую часть (8), квадратичную относительно разностей координат произвольных точек Aи B, называют метрической формой пространства F.
1.3.Ортонормированные базисы
1. В пространстве с квадратичной метрикой базисы не равноправны. Среди них есть такие, которые наиболее удобны с точки зрения данной метрики.
Именно, базис e1 ,…,enможно выбрать так, чтобы метрическая форма g(x, x) имела в нем нормальный вид
= g (x, x) = (x1)2 + …+ (x k)2 - (x k +1) 2 - … - (x n)2.Тогда скалярное произведение двух векторов представится так:
x y = x 1y1 + … + x k y k – x k+ 1 y k + 1- … - x n y n.