Многомерная геометрия 2 (стр. 4 из 9)

Причем

. Тогда и

(3)

поскольку

вследствие ортогональности вектора подпространству

, содержащему .

Заметим, что

ввиду положительной определенности метрической формы рассматриваемого пространства. Поэтому (2) следует из (3). Равенство в (2) достигается лишь тогда, когда ( то есть когда ).

3. Пусть

где

- некоторая конечная независимая система векторов из L. В этом случае для нахождения ортогональной проекции заданного вектора xна подпространство достаточно надлежащим образом вычислить коэффициенты в разложении

(4)

С этой целью запишем условие ортогональности вектора

к каждому из векторов z_j

(5)

Подставив разложение (4) в (5) и используя свойства скалярного произведения, получаем для

систему линейных уравнений

(6)

Определить системы (6) представляет собой определитель Грамма для положительно определенной квадратичной формы (x, x) и независимых векторов

. Поэтому он положителен, а система (6) однозначно разрешима. Тем самым искомая проекция найдется.

4. Ниже нам потребуется следующая

Лемма. Пусть в пространстве с положительно определенной метрической формой имеется система попарно ортогональных векторов

, то есть (a_i, a_k)= 0 при i=k. Если ни один из этих векторов не нулевой, то они линейно независимы.

Доказательство. Рассмотрим соотношение

(7)

Умножим (7) скалярно на a₁:

(8)

Так как

а метрическая форма положительно определена, то Остальные скалярные произведения в левой части (8) обратятся в нуль по условию леммы; Аналогично устанавливается, что Лемма доказана.

5. Пусть в пространстве L дана упорядоченная система линейно независимых векторов

Речь будет идти о замене этой системы другой системой векторов, ортогональной и в некотором смысле эквивалентной данной. С этой целью проводится геометрическое построение, называемое процессом ортогонализации. Оно напоминает процесс выбора базиса при приведении квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Новая система векторов

Строится с соблюдением следующих условий:

1)

2) Векторы

попарно ортогональны.

3) Система

линейно независима.

В таком случае говорят, что система векторов получена из первоначальной системы

процессом ортогонализации.

Если данная система состоит из трех векторов e₁, e₂, e₃ в трехмерном евклидовом пространстве, то новую систему

построим так:

первый вектор сохраним

второй вектор проведем к нему ортогонально в плоскости, проходящей через e₁и e₂;

третий вектор проведем ортогонально этой плоскости (рис 1).

Переходя к случаю большой размерности, нужно четвертый вектор располагать перпендикулярно данному трехмерному пространству и т. д. В общем случае положим:

(9)

Из формул (9) следует, что векторы

расположены в нужных линейных оболочках и являются ненулевыми вследствие независимости векторов

Остается подобрать коэффициенты

… так, чтобы векторы были попарно ортогональны. Тогда система будет независимой по лемме.

Найдем a. Мы имеем

отсюда

a= -

(10)

деление выполнимо, так как

Вектор (рис. 3).

Дальше обеспечим ортогональность третьего вектора первым двум:

Подчеркнутые члены обращаются в нуль, а

по построению. Поэтому находим

(11)

Формулы (9) и (11) геометрически означают, что для построения вектора

нужно из вектора вычесть его ортогональную проекцию на подпространство (рис. 4)

Дальше процесс идет аналогично.