Замечание. Нетрудно доказать (например по индукции), что условия 1) – 5) по данной системе
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhNQAZAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAIACQAwAAsAhAAAAAAAAAAAHR0AHR0AAAAAMwAcSAAzWh1GbDMAAEgcAFozAFszM0YzRl1dM0hIW1tbW0huf11/f0RubmxGHW5GM39ZSH9/XX9uSGaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwVZICAqQSCeaKquaomwyWmwdH0mL8Uq52L/rMPppRKIEkKgUmQEIFmlwnJKiaqIAKloMFVqAdwVyVQjaHmjExpgRpVmKIcg0q3baTFlnoYhYO+AgYIoDAA+ACEAOw==)
однозначно определяют систему векторов
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhOAAYAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAIACQAzAAsAhAAAAAAAAAAAHR0AHR0AAAAAMwAcSAAzWh1GbDMAAEgcAEceM1ozAFszM0YzRl1dM0hIW1tbW0huf11/f0RubmxGHW5GM39ZSG5dXX9/XX9uSGaIiIBbM4iIZgECAwECAwVoICAqQSCeaKqubImwQHIacG2LyQvQq3IytyDrcNKpBDiicClCxpSrUiE15TBhFSnKJ7ICpqLBdQkGiFkkE2oBwJw0hDJvNwPAy6LSvAFAumFsY4I3gSgJUDaHNgSDjSwWAA5Bao5BUCEAOw==)
.
7.Многочлены Лежандра. В математическом анализе и его приложениях приходится использовать разложение произвольных функций в ряды по данным функциям, рассматривая такие разложения функций аналогично разложениям векторов по данному базису. При этом удобно иметь аналоги ортогонального базиса; таковыми являются ортогональные системы функций. Одним из простейших примеров ортогональных систем являются многочлены Лежандра.
В пространстве непрерывных функций на отрезке
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhJAAbAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAMABAAdABMAhAAAAAAAAAAAHR0AAAAAMwAcSAAzWjMAAEgcAFozAEZfRl1/f0huf2xGHX9ZSH9/XWaIiIiIZgECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwVdYACMZGmeZyCibDuqbpyuMlKg9ku7x072NwBMNgqaGsGhrNFK+lzGElJHBDBZTkBCxVUZTFHSVfhkjU/Zang0JVcTTaqsFxAABoQR3a6suvpVB18zfjKAhYSILQEhADs=)
вводится квадратичная метрика со скалярным произведением
![](data:image/gif;base64,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)
(12)
Соответственно
![](data:image/gif;base64,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)
(13)
Следует определить внимание на ее положительную определенность:
![](data:image/gif;base64,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)
, причем
![](data:image/gif;base64,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)
тогда и только тогда, когда непрерывная функция
![](data:image/gif;base64,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)
во всех точках отрезка.
Возьмем систему одночленов
![](data:image/gif;base64,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)
(14)
и причем к ней процесс ортогонализации. В результате получим последовательность многочленов
![](data:image/gif;base64,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)
(15)
Номера многочленов (15) выбраны так, чтобы они совпадали с их степенями. Коэффициенты многочленов вычисляются согласно формулам (9) с учетом (10), (11), (12) и (14).
После специальной нормировки вида
![](data:image/gif;base64,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)
где
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhEwAYAHcAMSH+GlNvZnR3YXJlOiBNaWNyb3NvZnQgT2ZmaWNlACH5BAEAAAAALAIABAAPABAAhQAAAAAAAAAAHR4AHh0AAAAAMx0dNAAdSAAzWx1GbDMAADNGbjNbgEgcAEgeNFozHVozAFszAFszM0YzRl1dM1tISEhIW0ZGWVtbW0hZf0ZGbkhuf11/f0RubmxGHX9ZM25GM39ZSHd3XX9uSHtqRH9/XXd3ZmZ3d25ugGaIiIiIZgECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwY4QIBwSCwWFYKNsehYOoWZJ/EhHXoKVeHAkFUwso0EwFI9LBtFLBG0FBAVgaEE4M7aAYQ7YKJHAIIAOw==)
выбираются из условия
![](data:image/gif;base64,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)
(16)
Получаем последовательность многочленов
![](data:image/gif;base64,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)
называемых многочленами Лежандра. Можно доказать, что
![](data:image/gif;base64,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)
(17)
Учитывая замечание в п. 6, для этого достаточно проверить, что все многочлены (17) попарно ортогональны и что они удовлетворяют условию (16).
Можно доказать также, что
![](data:image/gif;base64,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)
Таким образом, система многочленов Лежандра ортогональна, но не нормирована.
Глава II. Аффинные преобразования
2.1 . Аффинные преобразования на плоскости
В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом (2D) (2-dimention).
Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат (рис. 5). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел – (x*, y*).
Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:
x*=ax+ by +l, (2.1)
y*=gx+ by + m, (2.2)
где a, b, g, l, m -- произвольные числа, связанные неравенством:
(2.3)Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система (рис. 6) – в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) | (х*, y*), либо изменяется точка и сохраняется координатная система (рис. 7) – в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение, переводящее произвольную точку М (х, у) в точку М* (х*, у*), координаты которой определены в той же координатной системе.
X*
Y*
В дальнейшем, формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.
В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффициентов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.
1.Поворот вокруг начальной точки на угол j (рис. 8) описывается формулами:
х* = xcosj - ysinj, (2.3)
y* = xsinj - ycosj. (2.4)
2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей можно задать так:
x* = ax, (2.5)
y* = dy, (2.6)
a > 0, d > 0. (2.7)
Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что a > 1 (a < 1). На рис. 5 a = d > 1.
2.Отражение (относительно оси абсцисс) (рис. 10) задается при помощи формул:
x* = x, (2.8)
y* = -y. (2.9)
3.На рис. 11 вектор переноса ММ* имеет координаты l, m. Перенособеспечиваетсоотношения:
x* = x + l, (2.10)
y* = y + m. (2.11)