Многомерная геометрия 2 (стр. 8 из 9)

Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен

(0, m, n).

Отсюда сразу же вытекает, что

(4.10)

где

(4.11)

Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:

1 0 0 0

0 n/dm/d 0

0 -m/dn/d 0

0 0 0 1

Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим

(l,m, n, 1)[ R_x ] = (l, 0, d, 1). (4.13)

2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол q, определяемый соотношениями

сosq = l, sinq = -d (4.14)

соответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:

l 0 d 0

0 1 0 0

-d 0 l 0

0 0 0 1

3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j.

Так как теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:

cos j sin j 0 0

-sin j cos j 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4-йшаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q.

5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y.

Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.

6-й шаг. Перенос на вектор А (a, b, c).

Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:

[ T ][ R_x ][ R_y ][ R_z ][ R_y ]^-1[ R_x ]^-1 [ T ]^-1.

Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку.

l² + cosj(1 – l²) l(1 – cosj)m + nsinj l(1 – cosj)n – msinj 0

l(1 – cosj)m – nsinj m² + cosj(1 – m²) m(1 – cosj)n + lsinj 0

l(1 – cosj)n + msinj m(1 – cosj)n – lsinj n² + cosj(1 - n²) 0

0 0 0 1

Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида

a₁ a₂ a₃ 0

b₁ b₂ b₃ 0

g₁ g₂ g₃ 0

l m n 1

При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.

Пример 4. Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.

Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин

V_i ( x_i, y_i, z_i), i = 1,…,n,

Строим матрицу

x₁y₁z₁ 1

V = . . . . . . . . . . (4.18)

x_ny_nz_n 1

Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [ V ][ A ], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 15).

2.4. Формула обратного преобразования

В предыдущем параграфе нами была найдена формула (4) преобразования, обратного аффинному преобразованию (2). Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Для этого достаточно доказать, что его определитель не равен нулю.

Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен:

, приведём к общему знаменателю и сократим на общий множитель, получим:

, где

, следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится в следующей зависимости с определителем преобразования (2):

и он не равен нулю. Следовательно, обратное преобразование (4) также является аффинным, что и требовалось доказать.

2.5. Основная теорема теории аффинных преобразований

Докажем следующую теорему:

Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой.[3]

Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, иc выражаются однозначно через координаты точек А(

), В(
), С(
) и A'(a’), B’(b’), C’(c’).

Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:

Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:

Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.

Глава III. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

3.1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P иQ отображает в такие две точки P’ иQ’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]

Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия задаётся тремя парами точек M"M’, P"P’, Q"Q’ так, что треугольник M’P’Q’ подобен треугольнику MPQ.