Многомерная геометрия 2 (стр. 9 из 9)

Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно.

I. Пусть MPQ и M’P’Q’ – одинаково ориентированные подобные треугольники, тогда выполняются равенства

, где .

Рассмотрим равенство

, откуда , тогда . Обозначим второе слагаемое как , получим равенство, задающее преобразование подобия первого рода:

, где . (18)

II. Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и M’P’Q’. Для них верны равенства:

, где . Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z’: , обозначим второе слагаемое за ρ, тогда получим равенство, которым задаётся преобразование подобия второго рода , где (19)

3.2. Преобразование родства

3.2.1. Понятие преобразования родства

Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула:

, где , , (20)

Осью этого преобразования является прямая

, примем её за действительную ось Ох: [1]. Тогда очевидно, что с=0 и b=1-a. Поэтому преобразование (20) с действительной осью записывается формулой:

, где (21)

Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом

(22) составим из этого выражения и сопряжённого к нему выражения пропорцию . Откуда , а это является условием того, что векторы с координатами и перпендикулярны. Так как а-1 – постоянные вектор, а z и z’ – координаты соответственных точек М и М’ при аффинном преобразовании (рис. 17), то все прямые, соединяющие точки М и М’ будут параллельны между собой и параллельны некоторому вектору с координатой (а-1)i, называемому направлением аффинного преобразования, в данном случае – родства.

Если (а-1) – чисто мнимое число (то есть

, откуда ), то направление родства будет коллинеарно оси родства. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23)

Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия:

, , (24)

3.2.2. Сжатие и его частные виды

Найдём собственные числа λ преобразования сжатия (24) из условия

. Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим и .

Примем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении

отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.

Очевидно, что прямые MM’ и NN’ (рис.18 ) являются двойными прямыми и λ₂– действительное число, то точка Р делит отрезок MM’ в отношении

, то есть . Число =δ называется коэффициентом сжатия. Если а – действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.

Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:

(25)

Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда

, откуда , то есть а – чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия – аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.

Если а=0, получаем осевуюсимметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также второго рода (

).

Список литературы:

1. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990

2. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: - Учпедгиз, 1962

3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 6-е изд., перераб. - М.: Наука, 1988.

4. Умное А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. - Долгопрудный: ЗАО Оптимизационные системы и технологии, 1997.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. -М.: Наука, 1975.

6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - 4-е изд. -М.: Наука, 1976.

7. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 2. -М.: Наука, 1979.

8. Чехлов В. И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: МФТИ, 2000.

9. Шарипов Р. А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии: учебное пособие для вузов / Издание Башкирского ун-та. ≈ Уфа, 1996. ≈ 226 с. ≈ ISBN 5-7477-0099-5

10. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1964.

11. Ильин В. А., Поэняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1981.

12. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1970.