Кольцо целых чисел Гаусса (стр. 2 из 7)
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.
Пусть надо поделить
на 
, но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить 
, и при этом 
должно быть «мало». Тогда покажем, чту брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.Лемма 1. О делении с остатком.
В кольце 
возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых и 
найдется 
такое, что 
. В качестве можно взять ближайшее к комплексному числу 
гауссово число.
Доказательство.
Разделим
на во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть 
. Округлим действительные числа 
и 
до целых, получим соответственно 
и 
. Положим 
. Тогда 
.Умножая сейчас обе части неравенства на
получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что 
. Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число 
, которое как нетрудно видеть, является ближайшим к 
.Ч.Т.Д.
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел
называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.
Пусть
и данные гауссовы числа, причем 
. Разделим с остатком на . Если остаток будет отличен от 0, то разделим на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств: 
, где 
, где 
, где 
……………………….
, где 
Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.
Теорема 2. О существовании НОД.
В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса 
и 
последний ненулевой остаток есть НОД( 
).
Доказательство.
Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.
1.Рассмотрим равенства снизу вверх.
Из последнего равенства видно, что
.Следовательно, 
как сумма чисел делящихся на 
. Так как и , то следующая строчка даст 
. И так далее. Таким образом, видно, что 
и 
. То есть это общий делитель чисел и .Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть
делится на любой другой их общий делитель.2. Рассмотрим равенства сверху вниз.
Пусть
— произвольный общий делитель чисел и . Тогда 
, как разность чисел делящихся на , действительно из первого равенства 
. Из второго равенства получим, что 
. Таким образом, представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на , мы из предпоследнего равенства получим, что делится на .Ч.Т.Д.
Лемма 3. О представлении НОД.
Если НОД( , )= 
, то существуют такие целые гауссовы числа 
и 
, что 
.
Доказательство.
Рассмотрим снизу вверх цепочку равенств, полученную в алгоритме Евклида. Последовательно подставляя вместо остатков их выражения через предыдущие остатки, мы выразим
через и .Ч.Т.Д.
Гауссово число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.
Утверждение 4.
При умножении простого гауссова числа на обратимое снова получается простое гауссово число.
Утверждение 5.
Если у гауссова числа взять необратимый делитель с наименьшей нормой, то он будет простым гауссовым.