Кольцо целых чисел Гаусса (стр. 5 из 7)

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, сопряженное к простому, само является простым.

Доказательство.

Пусть

простое число гаусса. Если предположить, что составное, то есть . Тогда рассмотрим сопряженное: , то есть представили в виде произведения двух необратимых сомножителей, чего не может быть.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, норма которого есть простое натуральное число, является простым гауссовым числом.

Доказательство.

Пусть

составное число, тогда . Рассмотрим нормы.

То есть получили, что норма

составное число, а по условию есть простое число. Следовательно, наше предположение не верно, и есть простое число.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Если простое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство.

Пусть

простое натуральное число и не является простым гауссовым. Тогда . Так как равны числа, то равны и их нормы. То есть , отсюда получаем .

Возможно два случая:

1).

, то есть представили в виде суммы двух квадратов.

2).

, то есть , значит обратимое число, чего не может быть, значит этот случай нас не удовлетворяет.

Ч.Т.Д.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Утверждение.

Произведение чисел представимых в виде суммы двух квадратов также представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство.

Докажем этот факт двумя способами, с помощью чисел Гаусса, и не используя гауссовы числа.

1. Пусть

, — натуральные числа представимые в виде суммы двух квадратов. Тогда , и . Рассмотрим произведение , то есть представили в виде произведения двух сопряженных гауссовых чисел, которое представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

2. Пусть

, . Тогда

.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Если

, где — простое натуральное вида , то и .

Доказательство.

Из условия следует, что

и при этом — простое гауссово. Тогда по лемме Евклида на делится один из множителей. Пусть , тогда по лемме 10 имеем, что и .

Ч.Т.Д.

Опишем общий вид натуральных чисел представимых в виде суммы двух квадратов.

Рождественская теорема Ферма или теорема Ферма — Эйлера.

Ненулевое натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда, и только тогда, когда в каноническом разложении все простые множители вида

входят в четных степенях.

Доказательство.

Заметим, что 2 и все простые числа вида

представимы в виде суммы двух квадратов. Пусть в каноническом разложении числа есть простые множители вида , входящие в нечетной степени. Занесем в скобки все множители представимые в виде суммы двух квадратов, тогда останутся множители вида , причем все в первой степени. Покажем, что произведение таких множителей не представимо в виде суммы двух квадратов. Действительно, если допустить, что , то имеем, что должен делить один из множителей или , но если делит одно из этих гауссовых чисел, то оно обязано и делить другое, как сопряженное к нему. То есть и , но тогда должно быть во второй степени, а оно в первой. Следовательно, произведение любого числа простых множителей вида первой степени не представимо в виде суммы двух квадратов. Значит наше предположение не верно и все простые множители вида в каноническом разложении числа входят в четных степенях.

Ч.Т.Д.

Задача 1.

Посмотрим применение данной теории на примере решения диафантова уравнения.

Решить в целых числах

.

Заметим, что правая часть представима в виде произведения сопряженных гауссовых чисел.

То есть

. Пусть делится на некоторое простое гауссово число , и на него делится и сопряженное, то есть . Если рассмотреть разность этих гауссовых чисел, которая должна делиться на , то получим, что должно делить 4. Но , то есть союзно с .