Все простые множители в разложении числа

входят в степени кратной трем, а множители вида

, в степени кратной шести, так как простое гауссово число

получается из разложения на простые гауссовы 2, но

, поэтому

. Сколько раз

встречается в разложении на простые множители числа

, столько же раз и встречается в разложении на простые множители числа

. В силу того, что

делится на

тогда и только тогда, когда

делится на

. Но

союзно с

. То есть они распределятся поровну, значит, будут входить в разложения этих чисел в степенях кратной трем. Все остальные простые множители, входящие в разложение числа

, будут входить только либо в разложение числа

, либо числа

. Значит, в разложении на простые гауссовы множители числа

все множители будут входить в степени кратной трем. Следовательно число

есть куб. Таким образом имеем, что

. Отсюда получаем, что

, то есть

должно быть делителем 2. Значит

, или

. Откуда получаем четыре удовлетворяющие нам варианта.
1.

,

. Откуда находим, что

,

.
2.

,

. Отсюда

,

.
3.

,

. Отсюда

,

.
4.

,

. Отсюда

,

.
Ответ:

,

,

,

.
Задача 2.
Решить в целых числах

.
Представим левую часть как произведению двух гауссовых чисел, то есть

. Разложим каждое из чисел

на простые гауссовы множители. Среди простых будут такие, которые есть в разложении

и

. Сгруппируем все такие множители и обозначим полученное произведение

. Тогда в разложении

останутся только те множители, которых нет в разложении

. Все простые гауссовы множители, входящие в разложение

, входят в четной степени. Те которые не вошли в

будут присутствовать либо только в

, либо в

. Таким образом, число

является квадратом. То есть

. Приравнивая действительные и мнимые части, получим, что

,

,

.
Ответ:

,

,

.
Задача 3.
Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
Задача равносильна задаче о представлении данного натурального числа в виде нормы некоторого числа Гаусса. Пусть

— число Гаусса, норма которого равна

. Разложим

на простые натуральные множители.

, где

— простые числа вида

, а

— простые числа вида

. Тогда, чтобы

было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо, чтобы все

были четными. Разложим на простые гауссовы множители число

, тогда

,
где

— простые гауссовы числа, на которые раскладываются

.
Сравнение нормы

с числом

приводит к следующим соотношениям, необходимым и достаточным для того, чтобы

: