
.
Число представлений подсчитывается из общего числа возможностей для выбора показателей

. Для показателей

имеется

возможность, так как число

можно разбить на два неотрицательных слагаемых

способом:

Для пары показателей

имеется

возможность и так далее. Комбинируя всевозможными способами допустимые значения для показателей

мы получим всего

различных значений для произведения простых гауссовых чисел, с нормой вида

или 2. Показатели

выбираются однозначно. Наконец, обратимому

можно придавать четыре значения:

.Таким образом, для числа

имеется всего

возможностей, и следовательно, число

в виде нормы гауссова числа

, то есть в виде

может быть представлено

способами.
При этом подсчете различными считаются все решения уравнения

. Однако некоторые решения можно рассматривать, как определяющие одно и то же представление

в виде суммы двух квадратов. Так, если

— решения уравнения

, то можно указать еще семь решений, определяющих то же самое представление числа

в виде суммы двух квадратов:

.
Очевидно, что из восьми решений, соответствующих одному представлению, может остаться только четыре различных в том и только в том случае, если

или

, или

. Подобные представления возможны, если

полный квадрат или удвоенный полный квадрат, и при том такое представление может быть только одно:

.
Таким образом, имеем следующие формулы:

, если не все

четные и

, если все четные.
В данной работе была изучена теория делимости в кольце целых чисел Гаусса, а также природа простых гауссовых чисел. Эти вопросы изложены в первых двух главах.
В третей главе рассмотрены применения чисел Гаусса к решению известных классических задач, таких как:
· Вопрос о возможности представления натурального числа в виде суммы двух квадратов;
· Задача нахождения количества представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов;
· Нахождение общих решений неопределенного уравнения Пифагора;
а также к решению диафантова уравнения.
Также отмечу, что работа была выполнена без использования дополнительной литературы.