Кольцо целых чисел Гаусса (стр. 7 из 7)

.

Число представлений подсчитывается из общего числа возможностей для выбора показателей

. Для показателей имеется возможность, так как число можно разбить на два неотрицательных слагаемых способом:

Для пары показателей

имеется возможность и так далее. Комбинируя всевозможными способами допустимые значения для показателей мы получим всего различных значений для произведения простых гауссовых чисел, с нормой вида или 2. Показатели выбираются однозначно. Наконец, обратимому можно придавать четыре значения: .Таким образом, для числа имеется всего возможностей, и следовательно, число в виде нормы гауссова числа , то есть в виде может быть представлено способами.

При этом подсчете различными считаются все решения уравнения

. Однако некоторые решения можно рассматривать, как определяющие одно и то же представление в виде суммы двух квадратов. Так, если — решения уравнения , то можно указать еще семь решений, определяющих то же самое представление числа в виде суммы двух квадратов: .

Очевидно, что из восьми решений, соответствующих одному представлению, может остаться только четыре различных в том и только в том случае, если

или , или . Подобные представления возможны, если полный квадрат или удвоенный полный квадрат, и при том такое представление может быть только одно: .

Таким образом, имеем следующие формулы:

, если не все четные и

, если все четные.

Заключение.

В данной работе была изучена теория делимости в кольце целых чисел Гаусса, а также природа простых гауссовых чисел. Эти вопросы изложены в первых двух главах.

В третей главе рассмотрены применения чисел Гаусса к решению известных классических задач, таких как:

· Вопрос о возможности представления натурального числа в виде суммы двух квадратов;

· Задача нахождения количества представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов;

· Нахождение общих решений неопределенного уравнения Пифагора;

а также к решению диафантова уравнения.

Также отмечу, что работа была выполнена без использования дополнительной литературы.