Динамическое и линейное программирование (стр. 3 из 13)

Т.к. в предыдущей задаче технологическая матрица

затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли имели вид:

значит, для производства, например, первого вида продукции, предприятие должно затратить 3 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 4 единицы ресурса третьего вида, за что оно получит прибыль 30 денежных единиц. Следовательно, согласиться с предложением предпринимателя можно, если он заплатит не меньше, т.е. в ценах y₁,y₂, y₃ это условие будет иметь вид:

Аналогично и с продукцией второго, третьего и четвертого вида, при этом, за все имеющиеся ресурсы, предприниматель должен заплатить не меньше:

денежных единиц.

Следовательно, предприниматель будет искать такие значения y₁,y₂, y₃, при которых эта сумма была бы как можно меньше. При этом речь идет о ценах, которые зависят не от цен по которым эти ресурсы были когда-то приобретены, а о ценах зависящих от применяемых в производстве технологий, объемов ресурсов и прибыли, которую возможно получить за произведенную продукцию.

Таким образом, задача определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции, т.е.:

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными, т.е.:

, ,

Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.

Т.е. для оптимальных решений

и пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

Ранее в п.1. было найдено, что

, , а и , тогда:

Но т.к. третий ресурс был избыточным (см. п.1.), то по второй теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю, т.е.

. Тогда переходим к новой системе уравнений:

от куда получаем:

,

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

, ,

тогда общая оценка всех ресурсов равна:

То же самое решение значений двойственных оценок содержится в последней строке симплексной таблицы 1 и имеет определенный экономический смысл:

	Показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост прибыли в 6 денежных единиц.
	Показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 3 денежные единицы.

Одновременно технологические оценки из той же строки симплексной таблицы:

	Показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (не входящую в оптимальную производственную программу), то это уменьшит прибыль на 7 денежных единиц
	Показывает, что если увеличить выпуск продукции четвертого вида на одну единицу, то это уменьшит прибыль на 9 денежных единиц

3. Задача о «Расшивке узких мест производства»

Задача о «расшивке узких мест производства» заключается в том, что, например, когда в процессе производства происходит изменение объема какого-либо ресурса, используемого в производстве, то, соответственно изменяется план производства и прибыль предприятия, получаемая от реализации готовой продукции. Это может происходить по различным причинам, например: сломался станок, поставщик предлагает сырье в большем количестве и т.п.

Поэтому, когда какой-либо ресурс используется полностью, то уменьшение объема этого ресурса, может повлиять на всю структуру плана производства и прибыль предприятия. Следовательно, такой ресурс, образующий «узкие места производства», желательно иметь с некоторым запасом, т.е. заказывать дополнительно, чтобы сохранить структуру плана производства и получить возможность увеличить прибыль предприятия.

Для примера возьмем данные и результаты вычислений из п.1. и п.2., где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводиться к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли.

Тогда, пусть

– вектор дополнительных объемов ресурсов:

при этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

Т.к.

, то задача состоит в том, чтобы найти вектор:

максимизирующий суммарный прирост прибыли:

(3.1)

при условии сохранения структуры производственной программы:

(3.2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т.е.:

(3.3)

причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т.е.:

,

(3.4)

Т.к. неравенства (3.2) и (3.3) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств: