Кривые и поверхности второго порядка 2 (стр. 2 из 3)

Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F₁и F₂. Отрезки F₁М и F₂М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусамиточки М и обозначаются через r₁ и r₂(r₁= F₁М, r₂= F₂М). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁и F₂. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F₁М и F₂М через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r₁— r₂= ±2а.

Так как F₁F₂=2с и так как фокусы F₁и F₂ расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

, .

Заменяя r₁ и r₂,получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c²x² – 2a²cx + a⁴ = a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² ,

откуда

(c² – a²)x² – a²y² = a²(c² – a²) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с>a, следовательно, с²—а²>0и величинаb—вещественна.

b²= с²—а²,

тогда

b²x² — a²y² = a²b² ,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c² = a²+b², находим:

;

отсюда

и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением

, а отношение в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε²—1, тем меньше, следовательно, отношение

; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы a=bи ε=√2.

Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии

от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую —правой.

Так как для гиперболы ε >1, то

.

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты

; приняв этово внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты

отсюда, получаем:

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть

, откуда

.

Заменяя r и d, найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у²=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у²=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Эллипсоид

a, b, c — полуоси