Конспект по математике.
Тема: Кривые и поверхности второго порядка.
Выполнила
Ерасова Екатерина
ГМУ 11
Окружность.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.
Теорема1. Окружность радиуса
Доказательство. Пусть
По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению
Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).
Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным
Сфера(частный случай эллипсоида)
Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.
Теорема 13.1 Сфера радиуса
Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)
ЭЛЛИПС.
|
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1и F2.
Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
F1М + F2М = 2а.
Расстояние F1и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F1,F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1 + r2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:
Заменяя r1 и r2, получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, получим:
или
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2 ,
откуда
(а2—с2)х2 + а2у2 = а2(а2—с2).
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
;
а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.
b2 = a2—c2,
тогда
b2x2 + a2y2 = a2b2 ,
или
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:
Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.
Заметим, что c2 = a2—b2; поэтому
отсюда
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следовательно, отношение
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следовательно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то
х2 + у2 = R2.
ГИПЕРБОЛА.