Применение производной при нахождении предела (стр. 3 из 5)
Пример 2.
.Представим функцию в следующем виде.
и вычислим предел
Пример 3. Вычислить предел:
Пример
4.
Пример 5.
При х®¥
при 
ex возрастает быстрее любой степенной функции хк, k>0
ln (x) возрастает медленнее любой степенной функции хк
4. Формула тейлора. вычисление пределов с помощью формулы тейлора
4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
Пусть f (n-1) - раз дифференцируема в окрестности U= (x0-a,x0+a) точки x0 и существует f (n) (x0). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида
.Свойства многочлена Тейлора
(1)Из (1) следует
= 
(2)Из (1) следует
Pn (x0) =f (x0),
(3)В частности,
, k=0,1,…,n.
Обозначим Rn (x) =f (x) - Pn (x), тогда
(4)(4) - формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.
4.2 Остаток в форме Пеано
Теорема 1. Если функция f (x) (n-1) - раз дифференцируема в окрестности U= (x0-a,x0+a) точки x0 и существует f (n) (x0), то имеет место равенство
.Другими словами
(5)Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x) =Rn (x)
(10) 
(11)
(1m)…
(1n-1)f (n-1) (x) дифференцируема в точке x0, поэтому
Откуда
По правилу Лопиталя
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n-ю производную в точке x0 и
,то
Лемма. Если
, (2)то bk=0, k=0,1,…,n
Доказательство. в (2) перейдем к пределу при x® x0, получим
b0 = 0,
,делим полученное выражение на (x-x0) и переходим к пределу при x® x0и т.д.
Доказательство теоремы.
откуда и следует утверждение.
4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
Пусть функция f (x) (n+1) -раз дифференцируема в окрестности Ua (x0) = (x0-a,x0+a) и y (x) дифференцируема в
, y¢¹0 в 
, y (x) непрерывна в .Возьмем xÎ (x0-a,x0+a), x¹x0 и фиксируем. Для определенности будем считать x0<x и рассмотрим на [x0,x] функцию
.Отметим следующие свойства этой функции
j (x) =0
j (x0) =Rn (x)
j (z) непрерывна на [x0,x], дифференцируема на (x0,x).
Не очевидным является только четвертое свойство
= 
= 
= 
.К функциям j и y применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x0,x]
. Откуда 
и, далее, 
(1)Следствие 1. Если функция f (n+1) - раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то
,где xÎ (x0,x) (или (x,x0)),p>0. Остаток Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы следует в качестве функцииy (z) взять
y (z) = (x-z) p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то
.Получено из общей формулы при p=n+1.
Замечание. Формулу с остатком Лагранжа можно представить в виде.
.Следствие 3. Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши
Получено из общей формулы при p=1.
4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
ex, x0=0
,xÎ (0,x), если x>0 или xÎ (x,0) в случае x <0.
Например, при |x|<1, |Rn (x) |£ 
sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
sin x =
= 
, x®0,выберем m=2n+2, тогда
sin x=
, x®0,откуда, с учетом равенства f (2n+2) (0) =0, получаем разложение для синуса
sin x=
, x®0В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
sin x =
, xÎ (0,x) (или xÎ (x,0)). Действительно,
sin x =
= 
= 
= 
.Откуда следует, что
cos x, x0=0
Вспомогательная формула:
= 
, x®0,выберем m=2n+1, тогда
cos x=
, x®0,