Применение производной при нахождении предела (стр. 4 из 5)

откуда, с учетом равенства f^{(2n+1) (}0) =0, получаем разложение для косинуса

cos x=

, x®0

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

cos x =

, xÎ (0,x) (или xÎ (x,0)).

Действительно,

cos x =

Откуда следует, что

ln (1+x), x₀=0

, x®0

(1+x) ^a, x₀=0,

интерес представляет случай, когдаaне является натуральным числом.

f¢=a (1+x) ^a-1,…,f^(k)=a (a - 1) … (a - k+1) (1+x) ^{a - k}

, x®0

Важный частный случай

4.5 Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов

Из формул Тейлора следуют известные "равносильности при

"; например,

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Разложить функцию f (x) =

по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵включительно.

. Для решения задачи возьмем разложения функции

e^2x = 1+2x+

+
+
+
+o (x⁵),

= (1+2x+
+
+
+
+o (x⁵)) (

) =

1+2x+

x²+
x³+
x⁴+
x⁵+o (x⁵) =

1+2x+x²

x³
x⁴
x⁵+o (x⁵).

Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵включительно. Представим функцию в виде

=1+u+u²+u³+o (u³), где u =

Тогда

=1+u+u²+u³+o (u³) =1+

При вычислении степеней

нас интересуют только слагаемые степеней не выше x⁵, более высокие степени войдут в o (x⁵). Таким образом,

Выражение

показывает, что в разложении

=1+u+u²+u³+o (u³)

можно, с самого начала, ограничится второй степенью

=1+u+u²+o (x⁵).

Подставляя нужные выражения в это равенство получим

=1+

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁶включительно.

tg x=

x+x² (0) +x³

+x⁴ (0) +x⁵
+x⁶ (0) =

Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) ^a - (1 - x) ^aпо формуле Тейлора с остатком Пиано.

k = 2l+1,

Таким образом,

Следствие.

Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)

Имеем:

=|x|
=
sign x +o (
).

Пример 8. Разложить функцию

f (x) =

по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁴включительно.

Сначала выпишем разложение функции

по степеням x до x³включительно.

Положим u=x - x², тогда

=
=1+u+u²+u³+o (u³) =1+ x - x²+ (x- x²) ²+ (x- x²) ³+o (x³) =1+x- x³ +o (x³).

Далее,

=
=1+2x (1+x- x³ +o (x³)) =1+2x+2x²-2x⁴+o (x⁴).