Применение производной при нахождении предела (стр. 5 из 5)
Второй способ. Так как
,
то на первом шаге выделяем единицу:
= 
.
Второе слагаемое представляем в виде Cxng2 (x) так, чтобы 
, после чего следует представить функцию g2 (x) в виде g2 (x) = 1+g3 (x) и т.д. В нашем случае:
= = 
= 
=
= 
=1+2x+ 
=
1+2x+2x2 
=1+2x+2x2-2x4+o (x4).
4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Теорема 1. Если функция f (x) четна и существует f (2n+1) (0), то имеет место следующее разложение этой функции
.Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+2) (0), то имеет место следующее разложение этой функции
.Теорема 2. Если функция f (x) четна и существует f (2n+2) (x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
,гдеxÎ (0,x) илиxÎ (x,0).
Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+3) (x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
,гдеxÎ (0,x) илиxÎ (x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке ноль
f (2k+1) (0) = 0, если f (x) четна.
Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и
f (2k) (0) = 0, если f (x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены методы вычисления пределов использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя и формула Тейлора.
Для каждого метода рассмотрены примеры вычисления пределов. Так же было рассмотрено такое важное понятие, как скорость роста функции, играющее большую роль при вычислении пределов.
Список использованных источников
1. Дадаян А.А., Математический анализ: учебное пособие / Дадаян А.А., Дударенко В.А., - Минск, Вышэйшая школа, 1990. - 428с.
2. Марон И.А., Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной) / Марон И.А., - М., Наука, 1970. - 400с.