3.2. Математическая модель
Производственно-отраслевую структуру предприятия можно записать в виде экономико-математической модели, для чего необходимо принять некоторые условные обозначения.
Основные группы переменных:
Xj – переменная, обозначающая площадь j- вида сельскохозяйственных культур или поголовье скота j- вида;
Bi - переменная, означающая объем производственных ресурсов i-вида;
Cj – переменная, означающая материально-денежные затраты на производство продукции j-го вида;
vij – выход корма i-вида с 1 га j- вида сельскохозяйственной культуры;
dij- расход i-вида корма на голову j- вида животных;
P- переменная, обозначающая общую потребность животных в кормах;
Pj- переменная, обозначающая потребность головы j- вида животных;
Qj- переменная, обозначающая план реализации продукции j-го вида;
qij- выход товарной продукции с 1 га j- вида сельскохозяйственной культуры или от 1 головы j- вида животных;
Aij – технико-экономические коэффициенты, т.е. затраты i- вида производственного ресурса на гектар посева j- вида сельскохозяйственных культур или на голову скота j- вида;
Цель задачи – определить такую производственно-отраслевую структуру предприятия, при которой предприятие сможет выполнить договора на продажу зерна и молока, при наименьших материально-денежных затратах, т.е. значение переменных Cj, Xj, при которых достигается min производственных затрат.
F min = S Cj * Xj
Ограничения:
1. По ресурсам:
SAij * Xj <= Bi
2. По балансу кормов:
Sdij* Xj-Svij* Xj<=0
3. По реализации:
Sqij* Xj>= Qj
4. .По поголовью КРС:
SXj >=0; Xj>=0
3.3 Развёрнутая экономико-математическая модель
Система переменных:
х1 – площадь пшеницы, га;
х2 – площадь ячменя, га;
х3 – площадь овса, га;
х4 – площадь однолетних трав, га;
х5 – площадь многолетних трав, га;
у1 – коровы, гол;
у2 – нетели, гол;
у3 – тёлки, гол;
у4 – бычки-кастраты, гол.
Система ограничений:
I По ресурсам:
1. По общей площади, га
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 <= 2320
2. По площади зерновых, га:
х1+х2+х3>=1500;
3. По площади однолетних трав, га:
х4 >=400;
4. По площади многолетних трав на сено, га:
х5>=120;
5. По использованию трудовых ресурсов:
20,7х1+17,5х2+18,3х3+4,8х4+7,3х5+80у1+ 82у2 + 81у3+70у4<=
<=48000;
II По балансу кормов:
6. Кормов всего, ц.к.ед.:
50у1+30у2+30у3+20у4<=27,4 х1+12,4х2+14,3х3+65х4+17,3х5;
50у1+30у2+30у3+20у4-27,4 х1-12,4х2-14,3х3-65х4-17,3х5<=0;
7. Концентратов, ц.к.ед.:
28у1+18у2+9у3+5у4<=27,4х1+12,4х2+14,3х3;
28у1+18у2+9у3+5у4-27,4х1-12,4х2-14,3х3<=0;
8. Пшеница, ц.к.ед.:
23у1+14у2+9у3+4у4<=27,4х1;
23у1+14у2+9у3+4у4-27,4х1<=0;
9. Ячмень, ц.к.ед.:
5у1+3у2+2у3+у4<=12,4х2;
5у1+3у2+2у3+у4-12,4х2<=0;
10. Овес, ц.к.ед.:
4у1+6у2+3у3+2у4<=14,3х3;
4у1+6у2+3у3+2у4-14,3х3<=0;
11. Однолетние травы на зеленый корм, ц.к.ед.:
3у1+2у2+3у3+2у4<=65х4;
3у1+2у2+3у3+2у4-65х4<=0;
12. Сено многолетних трав, ц.к.ед.:
3у1+2у2+3у3+2у4<=17,2х5;
3у1+2у2+3у3+2у4-17,2х5<=0;
13. Перевариваемого протеина, ц:
4у1+3у2+2у3+у4<=1,5х1+1,7 х2+1,4х3+2,7х4+5,2х5;
4у1+3у2+2у3+у4-1,5х1-1,7 х2-1,4х3-2,7х4-5,2х5<=0;
III По реализации продукции, ц.
14. Всего зерна:
12,1 х1+10,2х2+8,3х3=>8532;
15. Пшеница:
12,1х1=>3632;
16. Ячмень:
10,2х2=>1200;
17. Овес:
8,3х3=>2120;
18. КРС в живой массе:
2у3+4у4=>296;
19. Молока:
58,9у1=>3118;
IV. По скотоводству, гол
20. Общее поголовье:
у1+у2+у3+у4>=212;
21. Поголовье коров:
у1=>100;
22. Поголовье нетелей:
у2=>15;
23. Поголовье тёлок:
у3=>20;
24. Поголовье бычков-кастратов:
у4=>76;
Целевая функция – минимум материально-денежных затрат, тыс.руб.
F=7,7х1+8,1 х2+5,2х3+3,1х4+6,5х5+30у1+19,5у2+44,2у3+55у4-> min;
4. Решение задачи и анализ оптимального решения
4.1 Описание метода и способа решения задачи
Данная задача решена симплексным методом. Симплексный метод (метод последовательного улучшения плана) решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (убывает) для задачи на max (на min) при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным. Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.
Для решения задачи, переменные, которые представлены в третьей главе, отобразим в матричном виде.
Алгоритм решения задачи симплексным методом с помощью EXCEL:
1. Оформление исходной задачи;
2. Оформляется таблица Переменные, в которой:
· Строка Значения не заполняется;
· В Целевую ячейку (К6) вводится формула:
=СУММПРОИЗВ($B$3:$J$3;B6:J6) – в результате в ячейке высветился «0», а в строке формул – формула.
3. Оформляется таблица Ограничения, в которой:
· В Левую часть ограничений ($К$9-$К$39) из целевой ячейки копируется формула – в результате в каждой ячейке Левой части высвечиваются нули.
4. Алгоритм создания функции в ячейке К6
· Курсор установить в Целевую ячейку (К6). В меню выбрать Сервис/Поиск решения – откроется окно «Поиска решения».
a. В поле Установить целевую ячейку ввести $К$6;
b. Установить переключатель в положении Равной минимальному значению;
c. В поле Изменяемые ячейки – ввести интервал строки Значения ($B$3:$J$3);
d. Вводим граничные условия и ограничения. Для этого переводим курсор в окно Ограничения и щёлкаем по кнопке Добавить. Открывается окно Добавление ограничения. Задаём условие не отрицательности переменных. Заканчиваем ввод ограничения щелчком по кнопке «Добавить».
e. Параметры» - На экране диалоговое окно Параметры поиска решения. С помощью команд в этом диалоговом окне, можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. Команды, используемые по умолчанию, подходят для решения большей части практических задач. Максимальное время – служит для назначения времени в секундах, выделяемого на решение задачи. Можно ввести не более 32767с (9 часов), по умолчанию используется значение 100, которое подходит для решения большинства задач. Предельное число итераций – служит для назначения числа итераций, по умолчанию используется 100, что подходит для решения большинства задач.
f. Установить в окне Параметры поиска решения: флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплексного метода. ОК – На экране: диалоговое окно Поиск решения.
g. В заключении в окне Поиск решения нажать кнопку Выполнить. На экране: диалоговое оно Результаты поиска решения. «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены» и результат оптимального решения задачи высвечивается в таблице.
4.2 Анализ оптимального решения
После решения модели, которая приведена в приложении 1, по таблицам Переменные и Ограничения, можно сделать следующие выводы:
По строке «Значения»:
По оптимальному плану рекомендуется возделывать:
· пшеницу на площади 300,5 га.,
· площадь ячменя – 117,6 га,
· площадь овса 1081,9 га,
· однолетних трав – 400 га,
· многолетних трав 120 га.
Поголовье должно составлять:
· поголовье кров 100 голов;
· нетелей 16 голов;
· тёлок 20 голов;
· бычков кастратов всех возрастов 76 голов.
Выполнение условий по столбцам Левая и Правая часть:
· общая площадь и трудовые ресурсы недоиспользуются;
· по балансу кормов и потребности животных в питательных веществах все соотношения выполнены;
· оптимальное решение полностью обеспечивает выполнение производство продукции на продажу;
· по поголовью КРС все соотношения выполнены.
При таком плане производства, материально-денежные затраты будут минимальными и составят 19288,4 тыс. руб.
4.3 Анализ устойчивости оптимального решения
Анализ устойчивости оптимального решения проводится по автоматически формируемому Отчёту по устойчивости, который состоит из двух таблиц: Изменяемые ячейки и ограничения (Приложение 3).
Таблица Изменяемые ячейки.
· Нормированная стоимость во всех случаях 0, так как все площади культур и половозрастные группы представлены.
· Допустимое уменьшение и увеличение коэффициента целевой функции показывает, что решение останется оптимальным, если материально-денежные затраты, тыс. руб.:
1. на производство пшеницы и ячменя будут находиться в пределах от 5,2 до + ¥, тыс.руб.;
2. на производство однолетних и многолетних трав будут находиться в пределах от 0 до +¥ тыс.руб.
3. на производство овса в пределах от 0 до 7,7 тыс.руб.
4. на содержание коров, телок и бычков - кастратов 19,5 и более тыс.руб.
5. на содержание нетелей не более 30 тыс.руб.
Таблица Ограничения:
· Теневая цена показывает, что если площадь зерновых, однолетних и многолетних трав увеличить на 1 га, то материально-денежные затраты увеличатся соответственно на 5,2, 3,1 и 6,5 тыс.руб. Если реализовать на 1 ц. больше пшеницы и ячменя, то затраты повысятся соответственно на 0,21 и на 0,28 тыс.руб. Если поголовье коров, тёлок и бычков - кастратов увеличить на 1 голову, то затраты увеличатся соответственно на 10,5; 24,7; 35,5 тыс.руб.
· Допустимое уменьшение и увеличение объёмов ограничений показывает, что структура будет оптимальной, если:
1. общая посевная площадь будет находится в пределах от 2020 га и выше;
2. посевная площадь под зерновые в пределах от 863,4 до 1547,8 га;
3. площадь однолетних и многолетних трав составит соответственно от 8,37 га до 582,28 га и от 31,45 га до 239,85 га;
4. трудовые ресурсы будут находится в пределах от 47125,07 и выше;
5. производство зерна, молока и мяса КРС не будет превышать соответственно 13815,41 ц; 5890ц. и 344ц.;
6. поголовье коров, нетелей, тёлок и бычков – кастратов не превысит соответственно 101, 16, 21 и 77 гол;