Матричная форма формулы Крамера

С.К. Соболев

Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:

(1)

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме

. Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной», она принимает вид:

(2)

Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е.

, то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле

. (3)

Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение

, где
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:

Следовательно,

.

Ответ:

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель

, убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель ( ) получается из главного определителя заменой в нем k-го столбца на столбец В свободных членов:

Тогда решением системы (2) будет:

.

Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3)

.

Вспомним, что

, где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Получим

.

Итак, матричный способ дает формулу

(4)

Сравним эту формулу с выражением для

, полученным по формуле Крамера:

. (5)

Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

. (6)

Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.

Пример. Решить систему

методом Крамера, если это возможно:

Решение. Вычислим главный определитель системы:

, следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:

Следовательно,

.

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

.

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):

(разложение по i-й строке),
(разложение по j-му столбцу)

(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов):

, (для строк, при ),
(для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.

Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе

j- строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j-й строке, получим:

Аналогично доказывается для столбцов.

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:

Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.

Основное свойство линейной зависимости: Пусть даны n векторов линейного пространства

, и еще какие-то т векторов этого же пространства,

каждый из которых линейно выражается через

, причем,

. Тогда векторы

линейно зависимы.

Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.