Доказательство. Достаточность. Предположим, что
. Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм, и, согласно условию, , получаем . Значит, если - такая максимальная подформация в , что , то . Противоречие. Значит, . Поэтому . Следовательно, .Необходимость. Если
- такая максимальная подформация формации , что , то очевидно, . Предположим, что в имеется максимальная подформация такая, чтоТогда
. Следовательно,Поэтому, согласно лемме ,
Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Насыщенные формации с
-нильпотентным дефектом 1.Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не
-формации (или иначе -критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не -формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не
-формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.Пусть
- холловская -подгруппа группы . Группу называют -нильпотентной, если нормальная подгруппа в группе .Группу
называют -нильпотентной, если она -нильпотентна для любого .Обозначим через
- формацию всех -нильпотентных групп.Определение.Пусть
- некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют -нильпотентным дефектом.Определение.
-Насыщенная формация называется минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, если , но все собственные -насыщенные подформации из содержатся в .Лемма. Пусть
- формация классического типа, - непустая -насыщенная формация. Тогда если , то в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -подформация.Следствием леммы является следующая
Лемма. Пусть
- произвольная -насыщенная не -нильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация.Лемма. Тогда и только тогда
является минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, когда , где - такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и P - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий: