Смекни!
smekni.com

Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 10 из 18)

Доказательство. Достаточность. Предположим, что

. Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм,
и, согласно условию,
, получаем
. Значит, если
- такая максимальная подформация в
, что
, то
. Противоречие. Значит,
. Поэтому
. Следовательно,
.

Необходимость. Если

- такая максимальная подформация формации
, что
, то очевидно,
. Предположим, что в
имеется максимальная подформация
такая, что

Тогда

. Следовательно,

Поэтому, согласно лемме ,

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Насыщенные формации с

-нильпотентным дефектом 1.

Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не

-формации (или иначе
-критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не
-формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не

-формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.

Пусть

- холловская
-подгруппа группы
. Группу
называют
-нильпотентной, если
нормальная подгруппа в группе
.

Группу

называют
-нильпотентной, если она
-нильпотентна для любого
.

Обозначим через

- формацию всех
-нильпотентных групп.

Определение.Пусть

- некоторая
-насыщенная формация.
-Дефект формации
называют
-нильпотентным дефектом.

Определение.

-Насыщенная формация
называется минимальной
-насыщенной не
-нильпотентной формацией, если
, но все собственные
-насыщенные подформации из
содержатся в
.

Лемма. Пусть

- формация классического типа,
- непустая
-насыщенная формация. Тогда если
, то в
имеется по крайней мере одна минимальная
-насыщенная не
-подформация.

Следствием леммы является следующая

Лемма. Пусть

- произвольная
-насыщенная не
-нильпотентная формация. Тогда в
имеется по крайней мере одна минимальная
-насыщенная не
-нильпотентная подформация.

Лемма. Тогда и только тогда

является минимальной
-насыщенной не
-нильпотентной формацией, когда
, где
- такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой
, что
, и либо
и P -
-нильпотентный корадикал группы
, либо
, и выполняется одно из следующих условий: