Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 12 из 18)

Если

, то отсюда следует -нильпотентность формации , что противоречит условию . Таким образом получаем, что -дефект формации равен 1. Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как - максимальная -насыщенная подформация в , то, в силу теоремы , имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно,

- максимальная -насыщенная подформация в . Следовательно, поскольку , то всякая -нильпотентная подформация из входит в .

Для доказательства утверждения 2) прежде покажем, что в

нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Предположим, что в существует - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация, отличная от . Тогда, поскольку , то .

Пусть

- внутренний -локальный спутник формации , такой, что

где

. И пусть - внутренний -локальный спутник формации такой, что

По теореме такие спутники существуют. Тогда по лемме получаем, что формация

имеет такой -локальный спутник , что

, если ,

.

По лемме имеем, что

, где монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

(1) группа

неабелева, причем, если , то - -группа, если же , то - простая неабелева группа;

(2)

, где - -группа, а такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , , - -группа, и либо , либо - группа порядка q, где .

Поскольку

, то .

Пусть

удовлетворяет условию (1), т.е. - неабелева -группа. Поскольку, очевидно, - -насыщенная формация, то . Но - единственная минимальная нормальная подгруппа.

Следовательно,

. Но по лемме . Тогда, так как , то получаем . Поэтому

Поскольку

- минимальная -насыщенная не -формация, то имеем, что . Противоречие.