Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 13 из 18)

Пусть теперь для группы

выполняется условие (2), т.е. . Так как , то

Поскольку

и , то . Поэтому

Но тогда

. Снова получили противоречие.

Пусть теперь

- -группа. Заметим, что если - неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, - абелева -группа, где .

Покажем, что

. Поскольку , то по лемме -дефект формации . С другой стороны, -дефект формации , так как . Значит, -дефект равен 1. Поэтому в существует максимальная -насыщенная -нильпотентная подформация . Следовательно,

Поскольку, в силу теоремы ,

где

, то получаем, что - максимальная -насыщенная формация в .

С другой стороны,

Но тогда

максимальна в .

А, значит, по лемме формация

максимальна в и . Так как в и имеется единственная максимальная подформация, то

Поскольку

, то

Но

. Поэтому . Таким образом .

Так как

- абелева -группа, где и , то где - группа порядка .

Понятно, что

. Значит,

В силу теоремы заключаем, что

Заметим, что

Действительно, пусть

где

- группа минимально порядка и - минимальная нормальная подгруппа в . Если не является -группой, то, так как , имеем . Значит . Противоречие.

Поэтому

- -группа. Так как при этом и , то - группа порядка . Но тогда . Противоречие.

Таким образом,

Значит,

Но

. Следовательно . Таким образом,

По лемме

- гомоморфный образ группы из . Следовательно . Последнее влечет . Противоречие. Таким образом, в формации нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Пусть теперь - произвольная не -нильпотентная -насыщенная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что . Следовательно, применяя лемму и модулярность решетки -насыщенных формаций, получаем

Теорема доказана.

Если

, а - множество всех простых чисел, то из теоремы вытекает