Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 14 из 18)

1. Пусть

- некоторая

-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации

равен 1, когда

, где

-

-насыщенная нильпотентная подформация формации

,

- минимальная

-насыщенная ненильпотентная подформация формации

, при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из

входит в ;

2) всякая

-насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид .

Если

и равны , то из теоремы вытекает

2. Пусть

- некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации

равен 1, когда

, где

- насыщенная нильпотентная подформация формации

,

- минимальная насыщенная ненильпотентная подформация формации

, при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из

входит в ;

2) всякая насыщенная ненильпотентная подформация

из имеет вид . Если , то вытекает

3. Пусть

- некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае

-нильпотентный дефект формации

равен 1, когда

, где

- насыщенная

-нильпотентная подформация формации

,

- минимальная насыщенная не

-нильпотентная подформация формации

, при этом:

1) всякая

-нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая насыщенная не

-нильпотентная подформация из имеет вид .

3. Решетка

- насыщенных формаций с дополнениями

-Насыщенные формации, у которых решетка

является решеткой с дополнениями

Изучение

-насыщенных формаций, имеющих заданную подрешетку с дополнениями, начато в работах --.

В этом разделе устанавливается тот факт, что тогда и только тогда

- решетка с дополнениями, когда формация представима ввиде объединения всех своих минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций и .

Напомним, что группа

называется, если она обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Пусть

- некоторая -насыщенная формация. Тогда через обозначим следующее пересечение , где - формация всех разрешимых групп.

Определение.Пусть

- решетка с и , . Тогда элемент называется дополнением элемента в , если и . Решетку с нулем и единицей называют решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет дополнение.

Определение.Решетка с

и называется решеткой с относительными дополнениями, если каждый ее интервал является решеткой с дополнениями.

Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями является решеткой с относительными дополнениями.

Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями, имеющая конечное число атомов, является решеткой конечной длины.

Лемма. В решетке конечной длины с относительными дополнениями каждый элемент является объединением содержащихся в нем атомов.

Определение.Пусть

- некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют разрешимым дефектом.

Лемма. Пусть

- -насыщенная формация. Тогда и только тогда разрешимый дефект формации равен , когда , где - разрешимая -насыщенная формация, - минимальная -насыщенная неразрешимая формация, при этом: