Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 15 из 18)

1) всякая разрешимая подформация из

входит в ;

2) всякая неразрешимая

-насыщенная подформация из имеет вид

Следующее утверждение является следствием леммы .

Лемма. Пусть

- произвольная -насыщенная неразрешимая формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная неразрешимая подформация.

Лемма. Тогда и только тогда

- минимальная -насыщенная неразрешимая формация, когда , где - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа разрешима.

Лемма. Пусть

- некоторый набор минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, - -насыщенная разрешимая формация. Тогда если - некоторая минимальная неразрешимая подформация из то .

Доказательство. Пусть выполняются условия леммы и

, - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация формации . Покажем, что тогда .

Ввиду леммы

, где - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа разрешима.

Тогда

Поскольку

- неабелева группа, то . Но тогда по лемме имеем . Так как , то найдется такое , что . Значит, . Поскольку - минимальная -насыщенная неразрешимая формация, то . Лемма доказана.

Лемма. Пусть

- произвольная неразрешимая -насыщенная формация. Тогда и только тогда формация - атом решетки , когда , где - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая формация из .

Доказательство. Необходимость. По условию леммы длина решетки

равна . Следовательно, формация обладает разрешимой максимальной -насыщенной подформацией. Применяя лемму , имеем , где - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация из .

Достаточность. Предположим противное. Пусть найдется такая

-насыщенная формация , что

Так как

не содержится в , то по лемме формация обладает минимальной -насыщенной неразрешимой формацией . Тогда

Следовательно, ввиду леммы имеем

. Значит,

Противоречие. Таким образом,

- атом решетки . Лемма доказана.

Лемма. Пусть

- произвольная -насыщенная формация и пусть - некоторый набор -насыщенных неразрешимых подформаций из , у которых - максимальная -насыщенная подформация. Пусть

где

. Тогда если - произвольная -насыщенная неразрешимая подформация из c максимальной подформацией , то .

Доказательство. По лемме каждая формация

имеет вид где - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, формация имеет вид