Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 16 из 18)

Ввиду леммы формация

имеет вид , где - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, по лемме имеет место т.е. для некоторого . Значит

Лемма доказана.

Лемма. В однопорожденной

-насыщенной формации содержится лишь конечное число разрешимых -насыщенных подформаций.

Лемма. В каждой однопорожденной

-насыщенной неразрешимой формации содержится лишь конечное множество -насыщенных подформаций с разрешимым дефектом .

Доказательство. Пусть

для некоторой группы . Ввиду леммы каждая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация из имеет вид , где - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа разрешима. Тогда

Поскольку

- неабелевая минимальная нормальная подгруппа группы , то . В силу леммы , - гомоморфный образ группы . Но - конечная группа. Значит, в имеется лишь конечное множество минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций. В силу леммы , формация содержит лишь конечное множество разрешимых -насыщенных подформаций.

Пусть теперь

произвольная неразрешимая -насыщенная подформация формации , имеющая разрешимую максимальную -насыщенную подформацию. По лемме имеем где - некоторая разрешимая -насыщенная формация, а - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Из доказанного выше следует, что в имеется лишь конечное множество -насыщенных формаций с разрешимым дефектом . Лемма доказана.

Лемма. Пусть

- однопорожденная -насыщенная формация и - решетка с дополнениями. Тогда каждый элемент решетки представим в виде где - набор всех минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в .

Доказательство. Ввиду теоремы и леммы решетка

-насыщенных подформаций формации модулярна. Следовательно, модулярной является и ее подрешетка . В силу леммы - модулярная решетка с относительными дополнениями. Ввиду лемм и решетка имеет конечное число атомов. Значит, по лемме имеет конечную длину. Но тогда, по лемме и лемме , каждый элемент решетки представим в виде где - набор всех минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в . Лемма доказана.

Теорема. Пусть

- некоторая -насыщенная неразрешимая формация и - множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций из . Тогда и только тогда - решетка с дополнениями, когда

Доказательство. Необходимость. Пусть

- решетка с дополнениями. И пусть - произвольная неразрешимая группа, принадлежащая . Обозначим через .

Пусть

- множество всех неразрешимых формаций из .

Из теоремы и леммы следует, что

является модулярной решеткой.

Очевидно, что

- подрешетка решетки . Следовательно, по лемме получаем, что - решетка с дополнениями.

Ввиду леммы , имеем, что

- модулярная решетка. Поэтому имеет место решеточный изоморфизм