Смекни!
smekni.com

Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 17 из 18)

Таким образом,

- решетка с дополнениями. Тогда, применяя лемму , получаем

Так как

то, в силу произвольности выбора группы
, получаем

Достаточность. Пусть теперь

. Пусть
- произвольная
-насыщенная формация, принадлежащая решетке
, т.е.
.

Обозначим через

множество всех минимальных
-насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в
, а через
- множество всех минимальных
-насыщенных неразрешимых подформаций, не содержащихся в
. Очевидно, что множество
является дополнением к множеству
во множестве всех
-насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в
. Пусть
-
-насыщенныя формация, порожденная множеством
, а
-
-насыщенная формация, порожденная множеством
. Поскольку
и
, то ввиду леммы имеют место равенства

Допустим, что

не содержится в
, то есть
. Тогда по лемме в
имеется минимальная
-насыщенная неразрешимая формация
. По лемме
для некоторого
. Следовательно,
. Но
. Противоречие. т.е.
. Но в таком случае
. Ввиду леммы и произвольности выбора формации
, каждый элемент решетки
представим в виде объединения содержащихся в нем атомов.

Покажем теперь, что в решетке

дополняема каждая
-насыщенная формация. Если
, то дополнением к
в решетке
является формация
. Итак, можем считать, что
. Обозначим через
множества всех атомов решетки
, через
- множества всех атомов решетки
, которые содержатся в
. Тогда
, иначе, ввиду доказанного выше,

Пусть

- дополнение к
в
и

Так как по условию

то ввиду леммы имеет место равенство
Рассмотрим формацию
. Так как
и
являются элементами решетки
, то
. Допустим, что
не содержится в
, т.е.
. Тогда по лемме формация
содержит минимальную
-насыщенную неразрешимую подформацию
. Следовательно,
содержит формацию
. По лемме формация
- атом решетки
, содержащийся в
. Так как
содержится в
, то, применяя теперь лемму , имеем

Полученное противоречие показывает, что

. Таким образом, формация
- дополнение к
в решетке
. А, следовательно,
- решетка с дополнениями. Теорема доказана.

Если

, то из теоремы вытекает

Пусть

- некоторая насыщенная неразрешимая формация и
- множество всех минимальных насыщенных неразрешимых подформаций из
. Тогда и только тогда
- решетка с дополнениями, когда