Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 2 из 18)

Первый раздел посвящен изложению основных свойств решетки

-насыщенных формаций. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о частично насыщенных формациях и их -локальных спутниках. Доказано, что совокупность всех внутренних -локальных спутников формации образует полную модулярную решетку.

Во втором раздле дипломной работы исследуется

-дефект -насыщенной формации. Изучаются вопросы, связанные с понятием минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций. Основным результатом этого раздела является теорема , дающая описание -насыщенных формаций -нильпотентного дефекта .

В третьем разделе рассматриваются

-насыщенные формации, у которых решетка -насыщенных формаций, заключенных между и , является решеткой с дополнениями. В теореме получено описание -насыщенных формаций такого вида.

Работа носит теоретический характер. Результаты ее могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.

1. Решетка всех

-насыщенных формаций и ее основные свойства

Спутники формаций

В работе рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в книгах - и работе .

Напомним, что через

обозначают множество всех простых чисел. Пусть - некоторое непустое множество простых чисел. - дополнение к во множестве простых чисел, т.е. . Через обозначают множество всех различных простых делителей натурального числа , а через - множество всех простых делителей порядка группы , т.е. . Полагают также, что . Натуральное число называется

-числом, если . Группа называется

-группой, если ее порядок есть -число.

Определение.Формация

- это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений, т.е. - формация, если

1)

и следует, что ;

2)

и следует, что .

Напомним, что если

- произвольный непустой класс групп, то через обозначают пересечение всех формаций, содержащих .

Определение.Пусть

- непустое множество простых чисел. Всякую функцию вида

называют

-локальным спутником. При этом запись

означает множество .

Для произвольного класса групп

символом обозначают пересечение всех таких нормальных подгрупп , что , а символом обозначают произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Пусть

- класс всех тех групп, у которых каждый композиционный фактор является -группой.

Полагают,

, .

Через

обозначают наибольшую нормальную -подгруппу группы .

Лемма. Пусть

- нормальная подгруппа группы .

1. Если

- -группа, то .

2. Если

, то .

Для произвольного

-локального спутника

Лемма. Пусть

, где и . Тогда либо , либо найдется такое число , что .