Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 3 из 18)
Доказательство. Пусть
и 
для всех 
. Первое соотношение влечет 
. Пусть 
. Тогда 
и 
. Значит, для всех 
имеет место включение . Следовательно, 
. Полученное противоречие доказывает лемму.Определение.Если формация
такова, что 
, то говорят, что 
является 
-локальной, а 
- ее -локальный спутник. Если при этом все значения таковы, что 
для любого 
, то называется внутренним -локальным спутником.Пример. Пусть
- формация, содержащаяся в 
, и - такой -локальный спутник, что 
и 
для любого 
. Тогда, очевидно, 
. Таким образом, всякая подформация формации является -локальной. Отсюда, в частности, следует, что пустая формация 
и формация единичных групп 
являются -локальными для всех .Определение.Насыщенной называют такую формацию
, что для любой группы 
с 
всегда следует .Определение.Формацию
называют -, если ей принадлежит всякая группа , для которой 
, где 
. В частности, если 
, то -насыщенные формации называют 
-насыщенными.Определение.Пусть
- произвольная совокупность групп, - некоторое простое число. Полагают 
Пусть
и 
- некоторые -насыщенные формации. Тогда через 
обозначают класс групп, равный 
.Вместо
пишут 
.Следующая теорема для
-локальных формаций является аналогом известной теоремы Гашюца--Любезедер--Шмида , , .Теорема. Пусть
- формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 
Формация -насыщенная; 
для всех ; 
, где 
и 
для всех ; 
Формация -локальна.Доказательство. Импликация
доказана в работе . Пусть выполняется условие 2) и 
Включение 
очевидно. Предположим, что обратное включение неверно и - группа минимального порядка из 
с минимальной нормальной подгруппой 
. Если 
- 
-группа, то 
. Значит 
противоречие. Следовательно,
. Пусть 
. Если - неабелева группа, то 
Поэтому 
что противоречит выбору группы
. Значит, - -группа. Ввиду теоремы 
работы формация является -насыщенной, откуда вытекает, что 
, т.е. 
. Тогда 
и, следовательно, 