Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 4 из 18)

Полученное противоречие показывает, что

. Таким образом, .

Предположим теперь выполнимость условия

и допустим, что формация не является -насыщенной. Тогда найдется такое число и такая группа с нормальной подгруппой , что , но . Поскольку для простых и , получаем и для всех . Следовательно, . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть

- произвольный набор -локальных спутников. Через обозначают такой -локальный спутник , что для всех .

Если

для всех , то полагают, что .

Лемма. Пусть

, где . Тогда , где .

Доказательство. Пусть выполнены условия леммы, т.е.

, где и пусть . Тогда по условию . Следовательно, для любого . Но, так как для всех имеет место , то для всех и . Тогда всех и . Таким образом получаем, что . Лемма доказана.

Определение.Пусть

такая совокупность формаций, что либо , либо , где , . Такую совокупность формаций называют цепью формаций.

Определение.Цепью

-локальных спутников называют такую совокупность -локальных спутников , что либо , либо , где , .

Лемма. Пусть

- цепь формаций, - такая цепь -локальных спутников, что и для всех имеет место в точности тогда, когда для всех . Тогда , где для каждого .

Доказательство. Пусть

- цепь формаций и - такая цепь -локальных спутников, что , причем для всех выполнено в точности тогда, когда для любого .

Пусть

.Т. е. существует номер такой, что . Следовательно, для любого и . Тогда для любого и Это означает, что . Пусть теперь . Следовательно, для любого и

Тогда существует такой номер

, что для любого и . Тогда получаем, что . Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма. Если

= и , для некоторого , то .