Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 5 из 18)

Доказательство. Прежде заметим, что поскольку

, то . А поскольку и для всех имеет место то и . Значит, . Лемма доказана.

Определение.Непустое множество формаций

называют полурешеткой формаций, если пересечение любого множества из снова принадлежит .

Определение.Пусть

- формация, имеющая -локальный спутник . Если является минимальным (максимальным) элементом множества всех -локальных спутников формации , то называют минимальным (соответственно максимальным) -локальным спутником формации .

Пусть

- полурешетка формаций. Если формация обладает -локальным спутником , то формация обладает -локальным спутником . Значит, множество всех тех формаций, которые имеют хотя бы один -локальный спутник, является полурешеткой формаций.

Пусть

- некоторый класс групп. Через обозначают пересечение всех тех -насыщенных формаций, которые содержат , т.е. - наименьшая -насыщенная формация, содержащая формацию . В частности, если , то пишут form .

Теорема. Если

и - минимальный -локальный спутник формации , то справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

для всех ;

3)

и - некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех ,

и, кроме того,

;

4)

, где и для всех

Из теоремы и леммы непосредственно вытекает

Следствие. Пусть

и

- минимальные

-локальные спутники формаций

и

соответственно. Тогда

в том и только в том случае, когда

.

Определение.Пусть

- -насыщенная формация. -Локальный спутник формации называется каноническим, если и для всех .

Замечание 1. Согласно теореме всякая

-локальная формация имеет -локальный спутник , который является каноническим. Такие спутники обозначают большими латинскими буквами.

Ясно, что если

и - произвольный внутренний -локальный спутник формации , то ввиду леммы .

Если формация

, то для всех .

Из следствия теоремы следует

Лемма. Пусть

и . Тогда в том и только в том случае, когда .

Определение.Через

, обозначают такие -локальные спутники и соответственно, что и для любого .